Witam. mam Tutaj kilka zdanek typu "wykaż, że" , z którymi mam niemały problem. Bardzo proszę o pomoc w ich rozwiązaniu.
Z góry dzięki
1.Wykaż, że jeśli \(\displaystyle{ a, b}\) są całkowite oraz \(\displaystyle{ a}\) jest wielokrotnością liczby 3 i \(\displaystyle{ a \neq 3b}\) to liczba \(\displaystyle{ \frac {a^2-9b^2}{3a-9b}}\) jest liczbą całkowitą.
2.Wykaż, że iloczyn kolejnych liczb naturalnych, z któych pierwsza jest liczbą parzystą, jest liczbą podzielną przez 4.
3.Wykaż, że odwrotność różnicy odwrotności liczb \(\displaystyle{ a-1}\) i \(\displaystyle{ a}\) dla \(\displaystyle{ a \neq 0, a \neq 1}\) jest równa \(\displaystyle{ a^2 - a}\)
4.Wykaż, że liczba \(\displaystyle{ 7^{12} + 2 \cdot 14^6 +2^{12}}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ 53}\)
5.Wykaż, że reszta z dzielenia wielomianu \(\displaystyle{ W(x) = ( x^{15} - 2x^3 +6)^{90}}\) przez \(\displaystyle{ x-3}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ 3}\)
PS Sorki, że dałem tu wielomiany,ale nie wiem, gdzie mogę je umieścić. Jakby co to poproszę o poinformowanie mnie w jakim dziale można zamieszczać zadania z wielomianów.
Liczby całkowite i podzielność
Liczby całkowite i podzielność
Ostatnio zmieniony 29 wrz 2011, o 21:26 przez Lbubsazob, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: "III 5.5 [Temat] Nie może składać się tylko ze słów: "Udowodnij, że...", "Zadanie", "Problem" itp." Regulamin Forum - http://matematyka.pl/regulamin.htm
Powód: "III 5.5 [Temat] Nie może składać się tylko ze słów: "Udowodnij, że...", "Zadanie", "Problem" itp." Regulamin Forum - http://matematyka.pl/regulamin.htm
-
Erurikku
- Użytkownik
- Posty: 261
- Rejestracja: 1 lip 2011, o 20:46
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 46 razy
Liczby całkowite i podzielność
1 )
\(\displaystyle{ \frac{(a-3b)(a+3b)}{3(a-3b)} = \frac{a+3b}{3} = \frac{a}{3} +b}\)
Skoro \(\displaystyle{ a}\) jest wielokrotnością 3 to \(\displaystyle{ \frac{a}{3}}\) jest całkowite. Z zadania wiemy, że \(\displaystyle{ b}\) jest całkowite. Więc \(\displaystyle{ \frac{a}{3} +b}\) też jest liczbą całkowitą.
\(\displaystyle{ \frac{(a-3b)(a+3b)}{3(a-3b)} = \frac{a+3b}{3} = \frac{a}{3} +b}\)
Skoro \(\displaystyle{ a}\) jest wielokrotnością 3 to \(\displaystyle{ \frac{a}{3}}\) jest całkowite. Z zadania wiemy, że \(\displaystyle{ b}\) jest całkowite. Więc \(\displaystyle{ \frac{a}{3} +b}\) też jest liczbą całkowitą.
-
Vax
- Użytkownik
- Posty: 2913
- Rejestracja: 27 kwie 2010, o 22:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Biała Podlaska / Warszawa
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 612 razy
Liczby całkowite i podzielność
1) Skoro a jest podzielne przez 3, to dla pewnego całkowitego k zachodzi \(\displaystyle{ a=3k}\) wtedy:
\(\displaystyle{ \frac{a^2-9b^2}{3a-9b} = \frac{9k^2-9b^2}{9k-9b} = \frac{k^2-b^2}{k-b} = \frac{(k-b)(k+b)}{k-b} = k+b}\)
2) Iloczyn 3 kolejnych liczb? Jeżeli tak, to zauważ, że skoro pierwsza jest parzysta, to kolejna jest nieparzysta a trzecia parzysta, więc cały iloczyn dzieli się przez \(\displaystyle{ 2\cdot 2 = 4}\)
3) \(\displaystyle{ \frac{1}{\frac{1}{a-1}-\frac{1}{a}} = \frac{1}{\frac{a-(a-1)}{a(a-1)}} = \frac{a(a-1)}{1} = a^2-a}\)
4) Zauważ, ze \(\displaystyle{ 7^{12} + 2\cdot 14^6+2^{12} = 7^{12} + 2\cdot 2^6 \cdot 7^6 + 2^{12} = (7^6+2^6)^2}\)
Trzeba więc pokazać, że \(\displaystyle{ 53 | 7^6 + 2^6}\) ale \(\displaystyle{ 7^6+2^6 = 49^3+4^3 = 53(49^2-4\cdot 49+4^2)}\)
Korzystamy ze wzoru \(\displaystyle{ a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)}\)
5) Z twierdzenia Bezouta reszta z dzielenia \(\displaystyle{ W(x)}\) przez \(\displaystyle{ x-3}\) jest równa \(\displaystyle{ W(3)}\), dostajemy \(\displaystyle{ W(3) = (3^{15}-2\cdot 3^3 + 6)^{90}}\), ale \(\displaystyle{ 3 | 3^{15} - 2\cdot 3^3 + 6}\) (suma składników podzielnych przez 3 jest podzielna przez 3) więc tym bardziej po podniesieniu tego do \(\displaystyle{ 90}\) potęgi dostaniemy liczbę podzielną przez 3.
\(\displaystyle{ \frac{a^2-9b^2}{3a-9b} = \frac{9k^2-9b^2}{9k-9b} = \frac{k^2-b^2}{k-b} = \frac{(k-b)(k+b)}{k-b} = k+b}\)
2) Iloczyn 3 kolejnych liczb? Jeżeli tak, to zauważ, że skoro pierwsza jest parzysta, to kolejna jest nieparzysta a trzecia parzysta, więc cały iloczyn dzieli się przez \(\displaystyle{ 2\cdot 2 = 4}\)
3) \(\displaystyle{ \frac{1}{\frac{1}{a-1}-\frac{1}{a}} = \frac{1}{\frac{a-(a-1)}{a(a-1)}} = \frac{a(a-1)}{1} = a^2-a}\)
4) Zauważ, ze \(\displaystyle{ 7^{12} + 2\cdot 14^6+2^{12} = 7^{12} + 2\cdot 2^6 \cdot 7^6 + 2^{12} = (7^6+2^6)^2}\)
Trzeba więc pokazać, że \(\displaystyle{ 53 | 7^6 + 2^6}\) ale \(\displaystyle{ 7^6+2^6 = 49^3+4^3 = 53(49^2-4\cdot 49+4^2)}\)
Korzystamy ze wzoru \(\displaystyle{ a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)}\)
5) Z twierdzenia Bezouta reszta z dzielenia \(\displaystyle{ W(x)}\) przez \(\displaystyle{ x-3}\) jest równa \(\displaystyle{ W(3)}\), dostajemy \(\displaystyle{ W(3) = (3^{15}-2\cdot 3^3 + 6)^{90}}\), ale \(\displaystyle{ 3 | 3^{15} - 2\cdot 3^3 + 6}\) (suma składników podzielnych przez 3 jest podzielna przez 3) więc tym bardziej po podniesieniu tego do \(\displaystyle{ 90}\) potęgi dostaniemy liczbę podzielną przez 3.