Liczba \(\displaystyle{ d=0,01001000100001...}\) jest oczywiście liczbą niewymierną. Prawdopodobnie też przestępną. Czy da się ją zapisać w sposób nie wymagający nieskończonej ilości rachunków? Próbowałem znaleźć na nią jakiś wzór, sprowadzając ją do sumy szeregu \(\displaystyle{ d= \sum_{n=1}^{ \infty } 10^{ \frac{-n(n+3)}{2}}}\) ale nic z tego nie wynikło...
Tak w ogóle to czy liczby przestępne jakoś dalej się dzielą? Bo intuicja podpowiada że liczby takie jak \(\displaystyle{ \pi}\) oraz takie jak \(\displaystyle{ 2^{ \sqrt{2} }}\), mimo że obie przestępne, powinny należeć do "innych grup"...
Liczby przestępne
-
Zordon
- Użytkownik
- Posty: 4977
- Rejestracja: 12 lut 2008, o 21:42
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 75 razy
- Pomógł: 910 razy
Liczby przestępne
Ta liczba którą podałeś jest nieco podobna to stałej Liouville'a, która już jest "najbardziej przestępna jak się tylko da" 
. Na czym polega to, która liczba (przestępna) jest bardziej przestępna?
Chodzi o to, jak dobrze da się ją aproksymować liczbami wymiernymi, dokładniej pytamy o stałą rzeczywistą \(\displaystyle{ \alpha\geq 1}\), taką żeby istniały dowolnie duże liczby \(\displaystyle{ q\in \mathbb{N}}\) oraz odpowiadające im \(\displaystyle{ p\in \mathbb{Z}}\) spełniające:
\(\displaystyle{ 0 < \left|x-\frac{p}{q}\right| < \frac{1}{q^{\alpha}}}\).
Im większe \(\displaystyle{ \alpha}\) tym lepsza aproksymacja.
Okazuje się, że liczby "mało" niewymierne nie dają się dobrze aproksymować wymiernymi (można myśleć, że nie leżą w "całkiem losowym miejscu" na prostej rzeczywistej). I tak np. dla \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\) stała \(\displaystyle{ \alpha}\) nie może być większa od \(\displaystyle{ 2}\).
Ogólnie im większa stała spełnia powyższy warunek, tym bardziej niewymierna jest liczba. Czy zatem dla każdej liczby można wybrać największą stałą \(\displaystyle{ \alpha}\), która jeszcze spełnia warunek, a większe już nie spełniają? Prawie można to zrobić. Trzeba jednak zamiast największej wziąć kres górny tych liczb. Jedyny kłopot jest taki, że są (tzw. liczby Liouville'a), które spełniają ten warunek dla każdego \(\displaystyle{ \alpha}\), są zatem "superniewymierne".
Co ciekawe np. liczba \(\displaystyle{ \pi}\) nie jest liczbą Liouville'a, zatem istnieje dla niej taka optymalna stała \(\displaystyle{ \alpha}\), jednak nie udało jej się jak dotąd dokładnie oszacować.
. Na czym polega to, która liczba (przestępna) jest bardziej przestępna? Chodzi o to, jak dobrze da się ją aproksymować liczbami wymiernymi, dokładniej pytamy o stałą rzeczywistą \(\displaystyle{ \alpha\geq 1}\), taką żeby istniały dowolnie duże liczby \(\displaystyle{ q\in \mathbb{N}}\) oraz odpowiadające im \(\displaystyle{ p\in \mathbb{Z}}\) spełniające:
\(\displaystyle{ 0 < \left|x-\frac{p}{q}\right| < \frac{1}{q^{\alpha}}}\).
Im większe \(\displaystyle{ \alpha}\) tym lepsza aproksymacja.
Okazuje się, że liczby "mało" niewymierne nie dają się dobrze aproksymować wymiernymi (można myśleć, że nie leżą w "całkiem losowym miejscu" na prostej rzeczywistej). I tak np. dla \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\) stała \(\displaystyle{ \alpha}\) nie może być większa od \(\displaystyle{ 2}\).
Ogólnie im większa stała spełnia powyższy warunek, tym bardziej niewymierna jest liczba. Czy zatem dla każdej liczby można wybrać największą stałą \(\displaystyle{ \alpha}\), która jeszcze spełnia warunek, a większe już nie spełniają? Prawie można to zrobić. Trzeba jednak zamiast największej wziąć kres górny tych liczb. Jedyny kłopot jest taki, że są (tzw. liczby Liouville'a), które spełniają ten warunek dla każdego \(\displaystyle{ \alpha}\), są zatem "superniewymierne".
Co ciekawe np. liczba \(\displaystyle{ \pi}\) nie jest liczbą Liouville'a, zatem istnieje dla niej taka optymalna stała \(\displaystyle{ \alpha}\), jednak nie udało jej się jak dotąd dokładnie oszacować.