Udowodnij, że... - liczby pierwsze

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
Awatar użytkownika
aniu_ta
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 667
Rejestracja: 27 gru 2010, o 18:23
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Pomorskie
Podziękował: 36 razy
Pomógł: 92 razy

Udowodnij, że... - liczby pierwsze

Post autor: aniu_ta »

Udowodnij, że jeżeli liczby \(\displaystyle{ p}\) i \(\displaystyle{ 5p ^{2} -2}\) są pierwsze, to liczby \(\displaystyle{ 5p ^{2} -4}\) i \(\displaystyle{ 5p ^{2} +2}\) też są pierwsze.
Awatar użytkownika
ares41
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6499
Rejestracja: 19 sie 2010, o 08:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 142 razy
Pomógł: 922 razy

Udowodnij, że... - liczby pierwsze

Post autor: ares41 »

Sprawdź dla jakiej liczby pierwszej \(\displaystyle{ p}\) liczba \(\displaystyle{ 5p ^{2} -2}\) jest pierwsza.
Awatar użytkownika
Vax
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2913
Rejestracja: 27 kwie 2010, o 22:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Biała Podlaska / Warszawa
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 612 razy

Udowodnij, że... - liczby pierwsze

Post autor: Vax »

Zauważmy, że liczba pierwsza \(\displaystyle{ p=3}\) spełnia warunki zadania, załóżmy zatem, że \(\displaystyle{ 3 \nmid p}\) Wówczas \(\displaystyle{ p = 3k+1 \vee p = 3k+2}\) dla pewnego naturalnego k, ale wtedy \(\displaystyle{ 3 | 5p^2-2}\) sprzeczność z założeniem, że jest pierwsze (\(\displaystyle{ 5p^2-2=3}\) dla \(\displaystyle{ p=1}\) co nie jest pierwsze) cnd.
Awatar użytkownika
aniu_ta
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 667
Rejestracja: 27 gru 2010, o 18:23
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Pomorskie
Podziękował: 36 razy
Pomógł: 92 razy

Udowodnij, że... - liczby pierwsze

Post autor: aniu_ta »

najmniejszą taką liczbą pierwszą jest 3...

Ach, Vax, sama bym do tego doszła, w sumie teraz widzę, że to zadanie mam zrobić podobnie jak poprzednie (które też wrzuciłam na forum).
Awatar użytkownika
Vax
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2913
Rejestracja: 27 kwie 2010, o 22:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Biała Podlaska / Warszawa
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 612 razy

Udowodnij, że... - liczby pierwsze

Post autor: Vax »

Dobrze, w takim razie postaram się nie szarżować tak gotowcami
Awatar użytkownika
aniu_ta
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 667
Rejestracja: 27 gru 2010, o 18:23
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Pomorskie
Podziękował: 36 razy
Pomógł: 92 razy

Udowodnij, że... - liczby pierwsze

Post autor: aniu_ta »

Nie, czekaj, Ty używasz skrótów, nad którymi ja nie nadążam jednak.

Wiem, że najmniejszą liczbą pierwszą, dla której \(\displaystyle{ 5p ^{2} -2}\) jest pierwsza jest liczba \(\displaystyle{ p=3}\).

Wiem też, że każdą liczbę pierwszą \(\displaystyle{ p>3}\) można opisać wzorem \(\displaystyle{ p = 3k+1 \vee p = 3k+2}\)

I co robię/piszę dalej?
Awatar użytkownika
Vax
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2913
Rejestracja: 27 kwie 2010, o 22:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Biała Podlaska / Warszawa
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 612 razy

Udowodnij, że... - liczby pierwsze

Post autor: Vax »

Tak, pokaż teraz, że dla \(\displaystyle{ p = 3k+1 \vee p=3k+2}\) wyrażenie \(\displaystyle{ 5p^2-2}\) będzie podzielne przez 3, ale \(\displaystyle{ 5p^2-2}\) z założenia jest pierwsze, więc jedyną możliwością jest ...
Awatar użytkownika
aniu_ta
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 667
Rejestracja: 27 gru 2010, o 18:23
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Pomorskie
Podziękował: 36 razy
Pomógł: 92 razy

Udowodnij, że... - liczby pierwsze

Post autor: aniu_ta »

skoro jest i pierwsze i podzielne przez 3 to jest równe 3 .

ale wtedy \(\displaystyle{ p=1}\), czyli nie jest pierwsze (sprzeczne z założeniem).

czyli że warunki zadania spełnia tylko liczba \(\displaystyle{ p=3}\)?
Ostatnio zmieniony 24 wrz 2011, o 23:22 przez aniu_ta, łącznie zmieniany 1 raz.
Awatar użytkownika
Vax
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2913
Rejestracja: 27 kwie 2010, o 22:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Biała Podlaska / Warszawa
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 612 razy

Udowodnij, że... - liczby pierwsze

Post autor: Vax »

Tak.
Awatar użytkownika
aniu_ta
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 667
Rejestracja: 27 gru 2010, o 18:23
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Pomorskie
Podziękował: 36 razy
Pomógł: 92 razy

Udowodnij, że... - liczby pierwsze

Post autor: aniu_ta »

OK. Dziękuję, jeszcze się prześpię z tym zadaniem i rano przepiszę do zeszytu
ODPOWIEDZ