Dla jakich liczb pierwszych...

[aniu_ta]

1/ Dla jakich liczb pierwszych \(\displaystyle{ p}\) liczby \(\displaystyle{ p+10}\) i \(\displaystyle{ p+14}\) też są pierwsze?

To jest jedno z dodatkowych zadań, z tzw. "gwiazdką", tylko że tak się teraz z kolegą zastanawiamy jak to w ogóle "ugryźć". Czy tych liczb \(\displaystyle{ p}\) jest ograniczona liczba? Jak się zabrać za to zadanie?

Drugie jest bardzo podobne:

2/ Dla jakich liczb pierwszych \(\displaystyle{ p}\) liczby \(\displaystyle{ p+4}\) i \(\displaystyle{ p+14}\) też są pierwsze?

Dalej trochę trudniejsze, ale też w ten deseń, myślę, że jak rozwiążę te, to będę wiedziała jak robić następne.

[ares41]

Oba robi się podobnie.
1. Oznaczmy zbiór liczb pierwszych przez \(\displaystyle{ \mathbb{P}}\)
Weźmy pierwszą z kolei liczbę pierwszą, tj. \(\displaystyle{ p=2}\)
Mamy:
\(\displaystyle{ p+10=12 \notin \mathbb{P} \wedge p+14=16 \notin \mathbb{P}}\)

Więc liczba \(\displaystyle{ 2}\) tego nie spełnia. Weźmy kolejną liczbę pierwszą \(\displaystyle{ p=3}\).
Mamy:
\(\displaystyle{ p+10=13 \in \mathbb{P} \wedge p+14=17 \in \mathbb{P}}\)
Zatem \(\displaystyle{ p=3}\) spełnia to.

Rozważmy teraz liczby pierwsze \(\displaystyle{ p>3}\).
\(\displaystyle{ \left( p>3 \wedge p \in \mathbb{P} \right) \Rightarrow p\equiv 1\pmod{3} \vee p\equiv 2 \pmod{3}\\ \\ p\equiv 1\pmod{3} \Rightarrow p+14\equiv 15 \equiv 0\pmod{3} \Rightarrow p+14 \notin \mathbb{P} \\ \\ p\equiv 2\pmod{3} \Rightarrow p+10\equiv 12 \equiv 0\pmod{3} \Rightarrow p+10 \notin \mathbb{P}}\)

Więc jedyną liczbą pierwszą spełniającą ten warunek jest \(\displaystyle{ p=3}\)

[aniu_ta]

No dobrze, ale gdybym to chciała przedstawić w klasie, to tak, żeby wszyscy zrozumieli Może być w ten sposób?

Każdą liczbę pierwszą \(\displaystyle{ p>3}\) można opisać którymś z dwóch wzorów:

\(\displaystyle{ p=3k+1 \vee p=3k+2}\)


dla liczby pierwszej \(\displaystyle{ p=3k+1}\) mamy:

\(\displaystyle{ p+14=3k+1+14=3k+15=3(k+5)}\)

więc \(\displaystyle{ p+14}\) jest liczbą złożoną,


dla liczby pierwszej \(\displaystyle{ p=3k+2}\) mamy:

\(\displaystyle{ p+10=3k+2+10=3k+12=3(k+4)}\)

więc \(\displaystyle{ p+10}\) jest liczbą złożoną.


Czy ten zapis jest poprawny, czy bez tych "modów" się nie obejdzie?

[Jan Kraszewski]

Jest poprawny.

JK