Czym jeszcze różnią się liczby zespolonych od rzeczywistych?

[celtrun]

Prosiłbym także Pana Kraszewskiego, o potwierdzenie czy przynajmniej taka zachodzi różnica pomiędzy zbiorem liczb zespolonych a zbiorem liczb rzeczywistych, że liczby zespolone zawierają pierwiastki liczb ujemnych, a liczby rzeczywiste ich nie zawierają?

[Adifek]

Liczby zespolone są przykładem ciała algebraicznie domkniętego. Stąd wynika podana przez Ciebie własność.

[celtrun]

Masz dobrą wkrętkę, otwartość i domkniętość i do tego potrafisz dodać coś do tematu, jak dodają liczby zespolone rozszerzenie ciała liczb rzeczywistych, ale powiem Ci, że akurat mnie w liczbach zespolonych ciekawi to co je odróżnia od innych liczb

[Lider Artur]

W przestrzeni liczb zespolonych istnieją pierwiastki parzystych stopni z liczb ujemnych.
W liczbach rzeczywistych nie.

[celtrun]

Wierzę. A czym się różnią pierwiastki parzystych stopni liczb z liczb ujemnych od pierwiastków z liczb ujemnych?

[Rogal]

Tym, że nie ma liczb rzeczywistych, których kwadrat jest ujemny, a zespolone takie są.

[piasek101]

Nie możemy ustalać która z dwóch różnych liczb zespolonych (z których co najmniej jedna jest nierzeczywista) jest większa.
Czyli brak relacji porządku.

[celtrun]

Dziękuję.

[Jan Kraszewski]

Nie możemy ustalać która z dwóch różnych liczb zespolonych (z których co najmniej jedna jest nierzeczywista) jest większa.
Czyli brak relacji porządku.

E tam. Porządek możemy sobie świetnie ustalać, nawet liniowy. Tyle, że nie będzie to "naturalny" porządek.

JK

[celtrun]

Uczę się: Jak mamy dwie liczby zespolone np. (2, 3i) i (2, 0) ( czy może powinno się pisać (2, 0i)? ) to pierwsza z nich jest nierzeczywista, a druga rzeczywista, tak?

[Jan Kraszewski]

Jak chcesz je zapisywać jako pary, to powinieneś pisać \(\displaystyle{ (2,3)}\) i \(\displaystyle{ (2,0)}\). Pierwsza z tych liczb nie jest liczbą rzeczywistą (jakoś nie kojarzę terminu nierzeczywista), a druga jest.

JK

[celtrun]

Piasek101 mówił, że musi być co najmniej jedna nierzeczywista liczba zespolona, by kiedy ją porównać z inną liczbą zespoloną to się okazuje, że nie można stwierdzić, która z nich jest większa. Stąd myślałem, że liczba zespolona rzeczywista to taka, która ma część wyimaginowaną równą zero, a nierzeczywista to taka która ma część wyimaginowaną większą od \(\displaystyle{ 0}\). Np. \(\displaystyle{ (2, 3i)}\) ma część wyimaginowaną równą \(\displaystyle{ 3 \cdot i}\).

To żeby porównać ze sobą dwie liczby zespolone takie jak np. \(\displaystyle{ (2, 3i) \text{ i }(2, 4i}\)) trzeba by wprowadzić sztuczny porządek?

[ares41]

Po pierwsze zapis \(\displaystyle{ (2, 3i)}\) nie jest poprawny. Powinieneś pisać, tak jak pokazał Jan Kraszewski.

a nierzeczywista to taka która ma część wyimaginowaną większą od \(\displaystyle{ 0}\)

\(\displaystyle{ \text{Im } z<0 \Rightarrow z\in \mathbb{R}}\)

To żeby porównać ze sobą dwie liczby zespolone takie jak np. \(\displaystyle{ (2, 3i) \text{ i }(2, 4i)}\)trzeba by wprowadzić sztuczny porządek?

Tak, ale nie da się tego zrobić w taki sposób, aby spełnione były aksjomaty ciała uporządkowanego.

[celtrun]

Ładnie.

[piasek101]

Porządkowanie liczb zespolonych jest sztucznie wprowadzane - wyraźnie pisałem ,,brak relacji porządku".