Kilka zadań z dowodzenia twierdzeń

[Michalf]

Nie było mnie na lekcji, a mam zadanie na jutro... dziwnie to wygląda i nie wiem jak się do tego zabrać...

1.Kwadrat liczby całkowitej podzielnej przez 6 jest liczbą 9.
2. Suma dwóch liczb całkowitych podzielnych przez 3 jest podzielna przez 3
3.Jeśli \(\displaystyle{ n}\) jest liczbą naturalną to liczba \(\displaystyle{ 7^{n+222}+7^{n}}\) jest podzielna przez 50.
4.Jeśli \(\displaystyle{ x}\) jest wymierna to \(\displaystyle{ x+1}\) jest wymierna.
5.Jeśli \(\displaystyle{ x}\) jest niewymierna to \(\displaystyle{ x+1}\) jest niewymierna

DZiękuję

[Lider Artur]

1) Nieprawda

[Vax]

1) Nie - wystarczy sprawdzić np 6

2) Tak - \(\displaystyle{ 3a+3b = 3(a+b)}\)

3) Tak - \(\displaystyle{ 7^{n+222}+7^n \equiv 7^n(7^{222}+1) \equiv 7^n(49^{111}+1) \equiv 7^n((-1)^{111}+1) \equiv 7^n(-1+1) \equiv 0 \pmod{50}}\)

4) Tak - nie wprost, niech \(\displaystyle{ x+1 \not\in \mathbb{Q}}\) wtedy również \(\displaystyle{ x \not\in \mathbb{Q}}\), sprzeczność z założeniem.

5) Tak - nie wprost niech \(\displaystyle{ x+1 \in \mathbb{Q}}\) wtedy również \(\displaystyle{ x \in \mathbb{Q}}\) sprzeczność.