Zadania na podzielność

[wolkow]

1) Udowodnić, że jeśli liczba całkowita \(\displaystyle{ k}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ 3}\) i nie jest podzielna przez \(\displaystyle{ 2}\), to liczba \(\displaystyle{ k^2+7}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ 8}\)

2) Udowodnić, że dla każdej liczby pierwszej \(\displaystyle{ p>3}\) prawdą jest, że \(\displaystyle{ 24|p^2-1}\)

W pierwszym napisałem:
\(\displaystyle{ k=3x\\
k=2y-1\\
m=k^2+7\\}\)
i próbowałem na różne sposoby przedstawić to w formie iloczynu \(\displaystyle{ 8}\) i czegoś, ale nijak mi nie wychodziło. A za drugie nawet nie wiem jak się zabrać, bo nie wiem jak wyrazić to, że liczba jest pierwsza. Proszę o pomoc.

[piasek101]

1)
\(\displaystyle{ k=3(2n-1)}\)

[Qń]

W pierwszym zauważ, że dana liczba musi być postaci \(\displaystyle{ k=6n+3}\)

W drugim zauważ, że \(\displaystyle{ p^2-1=(p-1)(p+1)}\) i te czynniki są kolejnymi liczbami parzystymi, a zatem jedna jest podzielna przez \(\displaystyle{ 2}\), a druga przez \(\displaystyle{ 4}\). Ponadto wśród trzech kolejnych liczb \(\displaystyle{ p-1,p,p+1}\) musi być jedna podzielna przez trzy i nie jest to \(\displaystyle{ p}\).

Q.

[wolkow]

\(\displaystyle{ (6n+3)^2+7=36n^2+36n+9+7=36n^2+36n+16=32n^2+32n+16+4n^2+4n=8(4n^2+4n+2)+4(n^2+n)=8(4n^2+4n+2)+4(n(n+1))}\)

Tylko tyle udało mi się wykombinować. Podzielność przez \(\displaystyle{ 8}\) byłaby wtedy, gdyby liczba \(\displaystyle{ (n(n+1))}\) była parzysta, a tak jest zawsze, bo to zawsze para liczby parzystej z nieparzystą, a iloczyn takich daje liczbę parzystą... Ale niezbyt ładnie to wygląda i na pewno jest jakiś lepszy sposób na pokazanie tego, prawda?

[Qń]

W pierwszym możesz także wykorzystać sposób z drugiego, to znaczy zauważyć, że \(\displaystyle{ k^2+7=(k-1)(k+1)+8}\), a w iloczynie tych nawiasów jest liczba podzielna przez dwa i liczba podzielna przez cztery. W tej wersji łatwiej też widać, że założenie o podzielności przez trzy nie było potrzebne, wystarcza nieparzystość.

Q.

[wolkow]

Serdecznie dziękuję za pomoc

[Wrangler]

\(\displaystyle{ (6n+3)^2+7=36n^2+36n+16}\)

A nie wystarczyło tutaj tylko wyciągnąć 8 przed nawias i to już byłby koniec dowodu?

[piasek101]

\(\displaystyle{ (6n+3)^2+7=36n^2+36n+16}\)

A nie wystarczyło tutaj tylko wyciągnąć 8 przed nawias i to już byłby koniec dowodu?

Z 36-ciu ?