Unormowany wielomian minimalny, dowód jednoznaczności.

[empik85]

Witam, muszę poznać przebieg całego dowodu na jednoznaczność wielomianu minimalnego liczby algebraicznej \(\displaystyle{ "\beta"}\). Dowód pochodzi z rosyjskiej książki, i prócz zapewne błędów w tłumaczeniu zawiera wiele przemilczeń, których nie rozumiem. Niestety nie mogę wykorzystać dowodów algebraicznych, choć tych jest najwięcej.
Założenia: dla dowolnego \(\displaystyle{ "\beta"}\), mamy wielomian \(\displaystyle{ A(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_{0}}\), który jest najniższego możliwego stopnia dla którego\(\displaystyle{ A(\beta)=0}\) , jest on także niezerowy, do tego zakładamy, że \(\displaystyle{ a_{n}>0}\), i \(\displaystyle{ NWD(a_{n},\ldots,a_{0})=1}\), ogólnie współczynniki są całkowite.
Dowód: zakładamy istnienie dwóch takich wielomianów, A i B, wówczas:
\(\displaystyle{ b_{n} \cdot A=0, ~~~~ a_{n} \cdot B=0, 0 = b_{n} \cdot A - a_{n} \cdot B = \sum_{i=0}^{n} (b_{n}a_{i}-a_{n}b_{i})\beta^{i},}\) ale ponieważ \(\displaystyle{ b_{n}a_{n}-a_{n}b_{n}}\) to możemy zapisać:
\(\displaystyle{ \sum_{i=0}^{n-1} (b_{n}a_{i}-a_{n}b_{i})\beta^{i}=0.}\)
Stąd mam wywnioskować (ma to coś wspólnego z minimalnością n), żę:
\(\displaystyle{ b_{n}a_{i}=a_{n}b_{i}, ~~~~~ i =0,1,\ldots,n,}\)
Z tego już mogę wnioskować, że \(\displaystyle{ a_{n}=b_{n}}\), a czemu to wystarcza by stwierdzić, że A=B?

[bartek118]

No bo wielomian

\(\displaystyle{ \sum_{i=0}^{n-1} (b_{n}a_{i}-a_{n}b_{i})\beta^{i}=0}\).

Jest stopnia mniejszego niż \(\displaystyle{ n}\), a zakładaliśmy, że ustalone \(\displaystyle{ n}\) jest najmniejsze. A zatem ten wielomian jest zerowy, czyli wszystkie jego współczynniki są zerowe.

A co do drugiego, skoro mamy \(\displaystyle{ a_{n}=b_{n}}\), to znaczy, że
\(\displaystyle{ b_{n}a_{i}=a_{n}b_{i}, ~~~~~ i =0,1,\ldots,n,}\)
\(\displaystyle{ a_{i}=b_{i}, ~~~~~ i =0,1,\ldots,n,}\)

[Qń]

Brakuje jeszcze wyjaśnienia dlaczego \(\displaystyle{ a_n=b_n}\). Skoro \(\displaystyle{ a_nb_i=b_na_i}\), to w szczególności \(\displaystyle{ a_n}\) dzieli dla każdego \(\displaystyle{ i}\) prawą stronę, a zatem dzieli także \(\displaystyle{ NWD}\) wszystkich lewych stron, czyli:
\(\displaystyle{ NWD (b_na_0,b_na_1, \ldots , b_na_n)=b_nNWD(a_0,a_1,\ldots a_n)=b_n}\)
Analogicznie dowodzimy, że \(\displaystyle{ b_n}\) dzieli \(\displaystyle{ a_n}\), a to wobec tego, że obie liczby są naturalne, oznacza, że \(\displaystyle{ a_n=b_n}\).

Q.

[empik85]

Dzięki panowie, sądzę, że to już wszystkie potrzebne informacje, muszę je tylko przetrawić Kolejny raz dzięki.-- 14 wrz 2011, o 13:48 --

No bo wielomian

\(\displaystyle{ \sum_{i=0}^{n-1} (b_{n}a_{i}-a_{n}b_{i})\beta^{i}=0}\).

Jest stopnia mniejszego niż \(\displaystyle{ n}\), a zakładaliśmy, że ustalone \(\displaystyle{ n}\) jest najmniejsze.

Panowie a czy to nie jest już wystarczający powód by zakończyć dowód? Czy jednak trzeba z jakiegoś powodu wykazać przystawanie tych wielomianów?