Udowodnij nierówność

[seba21007]

Witam
Mam problem z udowodnieniem tej nierówności \(\displaystyle{ \frac{2}{ \frac{1}{a}+ \frac{1}{b} } \le \sqrt{ab}}\)
Próbowałem jakoś wyliczyć a i potem podstawić ale to bez skuteczne działania ; p
Proszę o pomoc
Pozdrawiam

[ares41]

To nierówność pomiędzy średnimi: harmoniczną i geometryczną.
powinno być jeszcze założenie \(\displaystyle{ a>0 \wedge b>0}\).
Lewą stronę sprowadź do postaci \(\displaystyle{ \frac{2ab}{a+b}}\) i podziel stronami nierówność przez \(\displaystyle{ \sqrt{ab}}\). Potem skorzystaj z założenia \(\displaystyle{ a>0 \wedge b>0}\).

[Igor V]

Albo:zsumuj liczby w mianownik,podnieś obustronnie do kwadratu,przemnóż obustronnie przez to co ci wyszło w mianowniku i skróć z ab (po jednej stronie zostanie ci 4 a po drugiej \(\displaystyle{ \frac{a ^{2} +2ab + b ^{2} }{ab}}\), przemnóż przez ab,następnie odejmij obustronnie 4ab.I teraz zostanie:
\(\displaystyle{ 0 \le a ^{2} - 2ab + b ^{2}}\)

co można zwinąć ze wzoru skróconego mnożenia do postaci:
\(\displaystyle{ 0 \le (a-b) ^{2}}\)
A stąd wynika że nierówność jest spełniona bo kwadrat jest zawsze dodatni.

[seba21007]

Dziękuje za pomoc Po wytłumaczeniu wydaje się strasznie proste ;D