wykaż, że jest to liczba całkowita

[katarinka1201]

Wiedząc, że \(\displaystyle{ x+ \frac{1}{x}}\) jest liczbą całkowitą wykaż, że \(\displaystyle{ x^{2} + \frac{1}{x^{2}}}\) jest też liczbą całkowitą

[aalmond]

Podnieś do kwadratu \(\displaystyle{ x+\frac{1}{x}}\)

[Erurikku]

Wiedząc, że \(\displaystyle{ x+ \frac{1}{x}}\) jest liczbą całkowitą wykaż, że \(\displaystyle{ x^{2} + \frac{1}{x^{2}}}\) jest też liczbą całkowitą

\(\displaystyle{ \left( x+\frac{1}{x} \right) ^{2} = x^{2}+ \frac{1}{x^{2}} + 2}\)

[katarinka1201]

jeszcze jedno podobne zadanie
wykaż, że suma dowolnej liczby dodatniej różnej od 1 i odwrotności tej liczby jest większa od 2

[Erurikku]

jeszcze jedno podobne zadanie
wykaż, że suma dowolnej liczby dodatniej różnej od 1 i odwrotności tej liczby jest większa od 2

\(\displaystyle{ x>0 \wedge x \neq 1 \\
x+ \frac{1}{x} >2 \\
x+\frac{1}{x} -2 > 0 \\
\frac{x^{2}-2x+1}{x} >0}\)
Popatrz na ten ułamek i zadaj sobie pytanie czy widzisz wzór skróconego mnożenia i co to oznacza.

[bakala12]

wykaż, że suma dowolnej liczby dodatniej różnej od 1 i odwrotności tej liczby jest większa od 2

Z nierówności średnich wynika że:
\(\displaystyle{ x+ \frac{1}{x} =2 \cdot \frac{x+ \frac{1}{x}}{2} \ge 2 \sqrt{x \cdot \frac{1}{x} }=2}\)
Równość zachodzi tylko dla \(\displaystyle{ x=1}\). Zatem nierówność jest ostra. Co kończy dowód.

Albo tak:
\(\displaystyle{ x+ \frac{1}{x}>2}\)
Mnożymy obustronnie przez x (\(\displaystyle{ x>0}\))
\(\displaystyle{ x ^{2}+1>2x}\)
\(\displaystyle{ x ^{2}-2x+1>0}\)
\(\displaystyle{ \left(x-1\right)^{2}>0}\)
Co jest prawdą dla \(\displaystyle{ x \neq 1}\)