Krótki sposób na sprawdzenie czy liczba jest niewymierna

[tatteredspire]

niech \(\displaystyle{ \mathcal{A}=\left\{p \in \mathbb{Z}:2\nmid p \right\}}\) (w wyrażeniu z kwantyfikatorami tak oznaczam ten zbiór)

Sprawdzić czy prawdziwe jest następujące twierdzenie:

\(\displaystyle{ (\forall x \in \mathcal{A})(\forall y \in \mathcal{A})(\forall z \in \mathcal{A})\left(y^2-4xz \ge 0 \Rightarrow \sqrt{y^2-4xz}\not\in \mathbb{Q} \right)}\)

Zadanie zrobiłem po swojemu (wyszło mi, że jest to prawdą), ale sposób raczej długi, stąd interesuje mnie czy ma ktoś pomysł na w miarę szybkie rozwiązanie tego zadania - proszę przynajmniej o podanie zastosowanej metody i na co trzeba zwrócić uwagę).

[Qń]

Wystarczy wykazać, że dla \(\displaystyle{ x,y,z}\) nieparzystych równanie kwadratowe:
\(\displaystyle{ xt^2+yt+z=0}\)
nie ma pierwiastków wymiernych. To zaś nie jest trudne, wskazówka: założyć, że nieskracalny ułamek \(\displaystyle{ \frac ab}\) jest pierwiastkiem tego równania i doprowadzić do sprzeczności.

Q.

[tatteredspire]

Tak i ponieważ działania na liczbach wymiernych wykonalne są w \(\displaystyle{ \mathbb{Q}}\) więc \(\displaystyle{ \sqrt{\Delta}\not\in\mathbb{Q}}\). Akurat tak robiłem choć sposób wydaje mi się trochę długi.

[RSM]

Można jeszcze tak (połowy oczywistych komentarzy można się pozbyć):
Zakładamy, że to wyrażenie może być liczbą wymierną, wówczas istnieją takie względnie pierwsze liczby całkowite \(\displaystyle{ p,q}\), ( \(\displaystyle{ (p,q)=1}\) ), że \(\displaystyle{ \sqrt{x^2-4yz}= \frac{p}{q}}\)

Po prostych przekształceniach dochodzimy do:
\(\displaystyle{ x^2q^2-4q^2yz=p^2}\).

Rozważamy trzy przypadki:
1. Obie liczby, \(\displaystyle{ p}\) oraz \(\displaystyle{ q}\) są nieparzyste.
2. \(\displaystyle{ p}\) parzyste, \(\displaystyle{ q}\) nieparzyste, pamiętając o tym, że\(\displaystyle{ x,y,z}\), są nieparzyste łatwo widać sprzeczność.
3. \(\displaystyle{ p}\) nieparzyste, \(\displaystyle{ q}\) parzyste. (komentarz jak wyżej).
4. \(\displaystyle{ p,q}\) parzyste - to zajść nie może, ze względu na założenie \(\displaystyle{ (p,q)=1}\).

Pozostaje przypadek pierwszy:
Po przekształceniach mamy: \(\displaystyle{ q^2(x^2-4yz)=p^2}\), zatem \(\displaystyle{ x^2-4yz}\) jest kwadratem pewnej nieparzystej liczby całkowitej \(\displaystyle{ k}\). Czyli \(\displaystyle{ x^2-4yz=k^2}\), co jest równoważne \(\displaystyle{ (x-k)(x+k)=4yz}\). Ponieważ \(\displaystyle{ x-k}\) jest parzyste (bo obie liczby k,x są nieparzyste), to napiszmy \(\displaystyle{ x-k=2l}\), wówczas \(\displaystyle{ x+k=2l+2k}\). Powracając do naszej równości: \(\displaystyle{ l(l+k)=yz}\). Wyrażenie po \(\displaystyle{ yz}\) jest nieparzyste, zaś \(\displaystyle{ l(l+k)}\) jest parzyste (jeśli \(\displaystyle{ l}\) jest parzyste to oczywiście \(\displaystyle{ l(l+k)}\) jeż jest, a jeśli \(\displaystyle{ l}\) jest nieparzyste, to \(\displaystyle{ (l+k)}\) jest parzyste jako suma dwóch liczb nieparzystych)). Sprzeczność ta kończy dowód.

[tatteredspire]

Dziękuję za odpowiedzi i za zaproponowane metody.