1. czy liczba jedynkowa moze posiadać dzielnik pierwszy \(\displaystyle{ p=13}\) ?
2. Udowodnić, że \(\displaystyle{ J_{179}}\) jest liczbą złożoną, mimo że \(\displaystyle{ p=179}\) jest liczbą pierwszą
A czy \(\displaystyle{ J_{37}}\) też jest złożona ?
3. Czy istnieje liczba jedynkowa, będąca kwadratem pewnej liczby naturalnej >1 ?
Uwaga: Lczba jedynkowa to taką której zapis dzisiętny składa się z samych jedynek
tj \(\displaystyle{ J_n=\frac{10^n - 1}{9}}\) dla \(\displaystyle{ n=1,2,3,...}\)
Liczby jedynkowe - trzy problemiki
-
mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11360
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3153 razy
- Pomógł: 747 razy
-
Vax
- Użytkownik
- Posty: 2913
- Rejestracja: 27 kwie 2010, o 22:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Biała Podlaska / Warszawa
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 612 razy
Liczby jedynkowe - trzy problemiki
1) Może, istnieje nieskończenie wiele takich liczb, musi zachodzić:
\(\displaystyle{ 10^n-1 \equiv 0 \pmod{9\cdot 13} \Leftrightarrow \begin{cases} 10^n \equiv 1 \pmod{9}\\ 10^n \equiv 1\pmod{13} \end{cases}}\)
1 kongruencja dla dowolnego naturalnego n jest prawdziwa, a w drugiej wystarczy zauważyć, że \(\displaystyle{ (10,13)=1}\) więc z twierdzenia Eulera wynika, że dla \(\displaystyle{ n=k\cdot \varphi(13) = 12k , k\in \mathbb{Z_+}}\) dana kongruencja zachodzi.
\(\displaystyle{ 10^n-1 \equiv 0 \pmod{9\cdot 13} \Leftrightarrow \begin{cases} 10^n \equiv 1 \pmod{9}\\ 10^n \equiv 1\pmod{13} \end{cases}}\)
1 kongruencja dla dowolnego naturalnego n jest prawdziwa, a w drugiej wystarczy zauważyć, że \(\displaystyle{ (10,13)=1}\) więc z twierdzenia Eulera wynika, że dla \(\displaystyle{ n=k\cdot \varphi(13) = 12k , k\in \mathbb{Z_+}}\) dana kongruencja zachodzi.
-
brzoskwinka1
Liczby jedynkowe - trzy problemiki
3. przypuśćmy, że \(\displaystyle{ 11...11 =(2k-1)^2 \Rightarrow 11...10=4k^2-4k}\) prawa strona ostatniej równości dzieli się przez \(\displaystyle{ 4}\) a lewa nie.
-
Vax
- Użytkownik
- Posty: 2913
- Rejestracja: 27 kwie 2010, o 22:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Biała Podlaska / Warszawa
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 612 razy
Liczby jedynkowe - trzy problemiki
2a) \(\displaystyle{ J_{179} = \frac{10^{179}-1}{9}}\)
Zauważmy, że:
\(\displaystyle{ 10^{179} \equiv 1\pmod{359}}\)
Istotnie:
\(\displaystyle{ \left(\frac{10}{359}\right) = \left(\frac{2}{359}\right)\left(\frac{5}{359}\right) = 1}\) skąd 10 jest resztą kwadratową \(\displaystyle{ \pmod{359}}\) i z kryterium Eulera:
\(\displaystyle{ 10^{\frac{359-1}{2}} \equiv 10^{179} \equiv 1\pmod{359} \Leftrightarrow 10^{179}-1 \equiv 0\pmod{359}}\) dodatkowo \(\displaystyle{ (9,359)=1}\) a lewa strona dzieli się przez 9 więc można to zapisać jako \(\displaystyle{ \frac{10^{179}-1}{9} \equiv 0 \pmod{359}}\)
Czyli \(\displaystyle{ J_{179}}\) nie jest liczbą pierwszą.
Być może podpunkt b idzie podobnie, ale muszę wychodzić, spróbuję wieczorem.
Zauważmy, że:
\(\displaystyle{ 10^{179} \equiv 1\pmod{359}}\)
Istotnie:
\(\displaystyle{ \left(\frac{10}{359}\right) = \left(\frac{2}{359}\right)\left(\frac{5}{359}\right) = 1}\) skąd 10 jest resztą kwadratową \(\displaystyle{ \pmod{359}}\) i z kryterium Eulera:
\(\displaystyle{ 10^{\frac{359-1}{2}} \equiv 10^{179} \equiv 1\pmod{359} \Leftrightarrow 10^{179}-1 \equiv 0\pmod{359}}\) dodatkowo \(\displaystyle{ (9,359)=1}\) a lewa strona dzieli się przez 9 więc można to zapisać jako \(\displaystyle{ \frac{10^{179}-1}{9} \equiv 0 \pmod{359}}\)
Czyli \(\displaystyle{ J_{179}}\) nie jest liczbą pierwszą.
Być może podpunkt b idzie podobnie, ale muszę wychodzić, spróbuję wieczorem.
-
abc666
Liczby jedynkowe - trzy problemiki
Vax pisze:Być może podpunkt b idzie podobnie, ale muszę wychodzić, spróbuję wieczorem.
Ukryta treść: