Pokaz ze liczba jest zlozona

[nivwusquorum]

Tresc zadania brzmi

Pokaz ze \(\displaystyle{ (3^{77}-1)/2}\) jest zlozona.

Problem pochodzi z ksiazki Matematyka Konkretna Knutha. Przeczytalem w odpowiedziach ze jest podzielna przez np. \(\displaystyle{ (3^7-1)/2}\). Ale jak do tego dojsc lub jak chociaz sprawdzic?

Z gory dzieki za pomoc!

[mol_ksiazkowy]

niech \(\displaystyle{ a=3^7}\) to \(\displaystyle{ \frac{a^{11}-1}{2}=\frac{a-1}{2}(1+a+a^2+...+a^{10})}\)

[nivwusquorum]

Kurde faktycznie proste. Moj usmysl byl zbyt ograniczony zeby uzyc a = \(\displaystyle{ 3^7}\). Uzwal 3 i twierdzil ze nie wychodzi.

[mkb]

\(\displaystyle{ \frac{3^{77}-1}{2}}\) to suma szeregu geometrycznego:

\(\displaystyle{ \frac{3^{77}-1}{2}=\frac{3^{77}-1}{3-1}=3^0+2^1+...+3^{76}}\)

Szereg ma \(\displaystyle{ 77=7 \cdot 11}\) wyrazów, więc można podzielić przez sumę pierwszych 7 lub 11 wyrazów.