Nie rozumiem jednego z dowodów z "Teorii Liczb" Sierpińskiego:
Jeżeli liczba naturalna jest m-tą potęgą liczby wymiernej, to jest też m-tą potęgą liczby naturalnej (dla naturalnych m).
Dowód. Załóżmy, że liczba naturalna n jest m-tą potęgą liczby wymiernej \(\displaystyle{ \frac{p}{q}}\). Możemy tu oczywiście założyć, że \(\displaystyle{ q}\) jest liczbą naturalną i że liczby \(\displaystyle{ p}\) i \(\displaystyle{ q}\) są względnie pierwsze. Skoro \(\displaystyle{ n=(\frac{p}{q})^m}\) ,to \(\displaystyle{ nq^{m}=p^{m}}\), skąd \(\displaystyle{ q|p^{m}}\); wobec twierdzenia 5(Liczba dzieląca iloczyn dwu liczb i pierwsza względem jednego z czynników jest dzielnikiem drugiego czynnika) i uwagi, że \(\displaystyle{ NWD(p,q)=1}\), jest to możliwe tylko w razie \(\displaystyle{ q=1}\), skąd \(\displaystyle{ n=p^m}\), c.b.d.o
Pewnie jest to banalne, ale kompletnie nie mogę zrozumieć części od "wobec twierdzenia 5"
Czy ktoś mógłby mi to wytłumaczyć "łopatologicznie"? To znaczy rozwinąć trochę tę część, żeby była bardziej "dla opornych" ?
Z góry dzięki
Dowód: M-ta potęga liczby wymiernej, m-tą potęgą naturalnej
-
- Użytkownik
- Posty: 8
- Rejestracja: 25 cze 2011, o 17:56
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Internet
- Podziękował: 5 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 197
- Rejestracja: 1 lip 2011, o 21:41
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Internet
- Podziękował: 9 razy
- Pomógł: 13 razy
Dowód: M-ta potęga liczby wymiernej, m-tą potęgą naturalnej
Skoro liczby p i q są względnie pierwsze to nie mają żadnego wspólnego dzielnika. Sprzeczność pojawia się w momencie obserwacji, że \(\displaystyle{ q|p^{m}}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 5101
- Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 1001 razy
Dowód: M-ta potęga liczby wymiernej, m-tą potęgą naturalnej
Twierdzenie 5 można zastosować \(\displaystyle{ m}\) razy. Wiemy że \(\displaystyle{ q|p^m}\), czyli \(\displaystyle{ q|p\cdot p^{m-1}}\), oraz wiemy że \(\displaystyle{ NWD(p,q)=1}\), więc \(\displaystyle{ q|p^{m-1}}\). Jeśli jeszcze \(\displaystyle{ m-1}\) razy zastosujemy tw. 5, to dostaniemy \(\displaystyle{ q|1}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 8
- Rejestracja: 25 cze 2011, o 17:56
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Internet
- Podziękował: 5 razy