Rozwiąż w liczbach całkowitych równanie

[wojtekjaskula]

Witam, mam nadzieję że dobry dział.
Mógłby mi ktoś pomóc rozwiązać to równanie ? Generalnie nie za bardzo wiem jak się do tego zabrać.

\(\displaystyle{ 288x-245y=2}\)

Generalnie chyba jedyne co wiem to mogę założyć że \(\displaystyle{ x \neq -288}\) \(\displaystyle{ y \neq 245}\) ?

[ares41]

Na początek może coś takiego:
\(\displaystyle{ 288x-245y=2 \Leftrightarrow 288x-2=245y}\)
Zauważ, że lewa strona jest podzielna przez dwa.

[Vax]

\(\displaystyle{ (*) 288x-245y=2}\)

Rozpatrzmy dane równanie \(\displaystyle{ \pmod{245}}\), otrzymujemy:

\(\displaystyle{ 288x \equiv 2\pmod{245}}\)

Z Rozszerzonego algorytmu Euklidesa wyznaczamy \(\displaystyle{ 43^{-1}}\) w \(\displaystyle{ \mathbb{Z}_{245}}\) otrzymujemy \(\displaystyle{ 43^{-1} = 57}\) i mnożymy przez to naszą kongruencje:

\(\displaystyle{ 43x \equiv 2\pmod{245} /\cdot 57}\)

\(\displaystyle{ x \equiv 114 \pmod{245} \Leftrightarrow x = 245n+114}\)

Wstawiamy do (*) i otrzymujemy:

\(\displaystyle{ 288(245n+114)-245y = 2 \\ 245y = 288\cdot 245n + 32830/:245 \Leftrightarrow y = 288n+134}\)

Czyli dane równanie spełnia nieskończenie wiele par liczb całkowitych postaci \(\displaystyle{ (x,y) = (245n+114 , 288n+134)}\) gdzie n jest dowolną liczbą całkowitą.