Wydzielono z: Reszta z dzielenia

[jotbe]

Witam mam podobny problem co kolega z reszta dzielenia, zadania poprzednie byly o tyle proste ze latwo bylo znalezc potege 2 lub 3. Ja natomiast mam zadanie w stylu
\(\displaystyle{ 407 ^{136} \equiv x (mod27)}\)
oraz \(\displaystyle{ 154 ^{84}}\) przez \(\displaystyle{ 15}\)
siedze juz pare godzin niby proste a nie potrafie rozgryzc zasady liczenia.

[Vax]

Zauważ, że \(\displaystyle{ 407 \equiv 2\pmod{27} \Rightarrow 407^{136} \equiv 2^{136} \pmod{27}}\) ale z twierdzenia Eulera wynika \(\displaystyle{ 2^{18} \equiv 1 \pmod{27} \Rightarrow 2^{126} \equiv 1\pmod{27} \Rightarrow 2^{136} \equiv 2^{10} \cdot 2^{126} \equiv 2^{10} \equiv 25\pmod{27}}\)

Podobnie 2 przykład, \(\displaystyle{ 154^{84} \equiv 4^{84} \pmod{15}}\) ale \(\displaystyle{ 4^2 \equiv 1\pmod{15} \Rightarrow 4^{84} \equiv 1 \pmod{15}}\)

[jotbe]

jedno male pytanie skad sie wzielo\(\displaystyle{ 2 ^{18} ?}\)

[Xitami]

\(\displaystyle{ \varphi(27)=18}\)
\(\displaystyle{ a^{\varphi(n)}\equiv 1 \pmod{n}}\) to jest
gdzie \(\displaystyle{ \varphi(n)}\) to

[silicium2002]

A to co kolega wyżej mnie uprzedził jest z kolei potrzebne do wspomnianego twierdzenia Eulera.

[jotbe]

\(\displaystyle{ \varphi(27)=18\\}\)

\(\displaystyle{ \varphi(27) = 27 * 1 - \frac{1}{9} * 1 - \frac{1}{3}\\}\)

Mnie wychodzi 16 ?

[silicium2002]

Chwilkę ale skąd ty to wziąłeś? ;p

funkcja eulera przyporządkowuje argumentowi liczbę, mniejszych od niego liczb z nim względnie pierwszych

Czyli w tym wypadku: 2,4,5,7,8,10 ... a takich liczb jest 18

[jotbe]

No mam taki sposob liczenia w notatkach, chyba dzis sie wybiore poprostu na uczelnie i spytam
Np. w notatkach dla \(\displaystyle{ \varphi(65) = 65 * 1 - \frac{1}{5} * 1 - \frac{1}{13}\\}\) co jest równe 48. A wiec założylem ze 5 * 13 = 65 i stad sie to bierze:) w poprzednim zadaniu mielismy 27 wiec założylem ze 3 * 9 = 27

[silicium2002]

ah wiem skąd wziąłeś ten wzór.

<- z tego prawda?

Ale tam bierze się liczby \(\displaystyle{ p_{i}}\) które są pierwszymi czynnikami liczby n bez powtórzeń. Czyli \(\displaystyle{ p_{i} \in {3}}\)

Co daje nam \(\displaystyle{ \varphi(27) = 27 \cdot (1 - \frac{1}{3}) = 18}\)

[jotbe]

czyli i tak nalezaloby wypisac wszystkie liczby pierwsze i usunac powtarzajace sie wowczas zostalyby 3 liczby ... coz wydawalo mi sie iz jest na zasadzie ktora opisalem edytujac swoj poprzedni post.

[silicium2002]

Dla 65 jest tak ponieważ czynniki pierwsze liczby 65 to: 5 i 13
i tu analogicznie jedynym pierwszym czynnikiem 27 jest 3 bo 3*3*3 = 27