Niech \(\displaystyle{ p_{n}}\) oznacza \(\displaystyle{ n}\)-tą początkową liczbę pierwszą. Jak wykazać, że:
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} (p_{n+1}-p_{n}) = \infty}\) ?
Odległości pomiędzy liczbami pierwszymi
- Zordon
- Użytkownik
- Posty: 4977
- Rejestracja: 12 lut 2008, o 21:42
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 75 razy
- Pomógł: 910 razy
Odległości pomiędzy liczbami pierwszymi
Nie sądze, żeby dało się to łatwo wykazać, bo najprawdopodobniej to nie jest prawda.
Być może chodziło Ci o \(\displaystyle{ \limsup_{n\to\infty} (p_{n+1}-p_{n}) = \infty}\)
Być może chodziło Ci o \(\displaystyle{ \limsup_{n\to\infty} (p_{n+1}-p_{n}) = \infty}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 5101
- Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 1001 razy
Odległości pomiędzy liczbami pierwszymi
Natomiast co do \(\displaystyle{ \liminf_{n\to\infty} (p_{n+1}-p_{n})}\), istnieje , że jest ono równe \(\displaystyle{ 2}\).
- Zordon
- Użytkownik
- Posty: 4977
- Rejestracja: 12 lut 2008, o 21:42
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 75 razy
- Pomógł: 910 razy
Odległości pomiędzy liczbami pierwszymi
no to to jest proste, wystarczy pokazać, że istnieją dowolnie długie ciągi kolejnych liczb, z których żadna nie jest pierwsza.
Np.:
\(\displaystyle{ n!+2,n!+3,n!+4,...,n!+n}\)
Np.:
\(\displaystyle{ n!+2,n!+3,n!+4,...,n!+n}\)