Odległości pomiędzy liczbami pierwszymi

[Hirakata]

Niech \(\displaystyle{ p_{n}}\) oznacza \(\displaystyle{ n}\)-tą początkową liczbę pierwszą. Jak wykazać, że:
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} (p_{n+1}-p_{n}) = \infty}\) ?

[Zordon]

Nie sądze, żeby dało się to łatwo wykazać, bo najprawdopodobniej to nie jest prawda.
Być może chodziło Ci o \(\displaystyle{ \limsup_{n\to\infty} (p_{n+1}-p_{n}) = \infty}\)

[norwimaj]

Natomiast co do \(\displaystyle{ \liminf_{n\to\infty} (p_{n+1}-p_{n})}\), istnieje , że jest ono równe \(\displaystyle{ 2}\).

[Hirakata]

Tak, tak, przepraszam za błąd. Chodziło właśnie o \(\displaystyle{ \limsup_{n\to\infty} (p_{n+1}-p_{n})}\).

[Zordon]

no to to jest proste, wystarczy pokazać, że istnieją dowolnie długie ciągi kolejnych liczb, z których żadna nie jest pierwsza.
Np.:
\(\displaystyle{ n!+2,n!+3,n!+4,...,n!+n}\)

[Hirakata]

Ech, no racja, banał. Dzięki