Proszę o pomoc w rozwianiu moich wątpliwości. Przedstawię więc moje rozumowanie i proszę bardzo o opinie, czy jest poprawne, bo jest zbyt banalne. Mam odczucie, że jest tu jakiś haczyk
Powiedzmy, że z(k) oznacza poczynając od lewej pierwszą cyfrę zapisu dziesiętnego liczby k, która jest naturalna. Mam wykazać, że \(\displaystyle{ z(k)\neq z(2k)}\).
Wydaje sie oczywiste, bo jeśli tę liczbę podwoimy, otrzymamy \(\displaystyle{ 2k}\). I oczywistym wydaje sie fakt, ze te pierwsze cyfry będą od siebie różne.
Pierwsze cyfry zapisu dziesiętnego
Pierwsze cyfry zapisu dziesiętnego
Właśnie tą oczywistość trzeba uzasadnić.
Można spróbować uzasadnić to w następujący sposób:
\(\displaystyle{ \begin{cases} z(2\cdot n) \in \{2,3\}, &\text{ gdy } z(n) = 1, \\
z(2\cdot n) \in \{4,5\}, &\text{ gdy } z(n) = 2, \\
z(2\cdot n) \in \{6,7\}, &\text{ gdy } z(n) = 3,\\
z(2\cdot n) \in \{8,9\}, &\text{ gdy } z(n) = 4,\\
z(2\cdot n) = 1, &\text{ gdy } z(n) \in \{5,6,7,8,9\}.
\end{cases}}\)
Wtedy ładnie widać, że \(\displaystyle{ z(2\cdot n)\neq z(n)}\).
Można spróbować uzasadnić to w następujący sposób:
\(\displaystyle{ \begin{cases} z(2\cdot n) \in \{2,3\}, &\text{ gdy } z(n) = 1, \\
z(2\cdot n) \in \{4,5\}, &\text{ gdy } z(n) = 2, \\
z(2\cdot n) \in \{6,7\}, &\text{ gdy } z(n) = 3,\\
z(2\cdot n) \in \{8,9\}, &\text{ gdy } z(n) = 4,\\
z(2\cdot n) = 1, &\text{ gdy } z(n) \in \{5,6,7,8,9\}.
\end{cases}}\)
Wtedy ładnie widać, że \(\displaystyle{ z(2\cdot n)\neq z(n)}\).
Pierwsze cyfry zapisu dziesiętnego
Hmm, ładnie rozpisane, dziękuję. Tylko jeśli można jaśniej jedną rzecz. Dlaczego np. \(\displaystyle{ z(2\cdot 4) \in {8,9}}\)? \(\displaystyle{ 8}\)- jasne, ale dlaczego \(\displaystyle{ 9}\)?
