Czy liczba tej postaci może być kwadratem liczby całkowitej?

[tranto]

Czy liczba postaci \(\displaystyle{ 2^k+1}\) (gdzie k jest liczbą naturalną różną od 3) może być kwadratem liczby całkowitej?

Ze wstępnych rachunków wyszło mi, że jeśli tak, to k byłaby jakąś liczbą postaci 4n+3.
(Bo dla k=4n+1 liczba postaci \(\displaystyle{ 2^k+1}\) kończy się cyfrą 3 oraz dla k parzystych liczba \(\displaystyle{ 2^k+1}\) zawiera się między kwadratami dwóch kolejnych liczb naturalnych.)

Podejrzewam, że k=3 jest jedyną liczbą o takiej własności, ale nie wiem jak można się za to zabrać.

[Rogal]

Jeżeli by założyć, że liczba ta jest kwadratem, to otrzymujemy:
\(\displaystyle{ 2^{k} + 1 = n^{2} \Leftrightarrow 2^{k} = (n-1)(n+1), n \in \mathbb{Z}}\)
Stąd:
\(\displaystyle{ \begin{cases} n-1 = 2^{l} \\ n+1 = 2^{k-l}, l \in \mathbb{N} \end{cases}}\)
Po odjęciu stronami otrzymujemy równość:
\(\displaystyle{ 2^{k-l} - 2^{l} = 2}\)
Sprawdzamy, że dla l = 0 n = 2, co nie spełnia założeń, załóżmy więc, że l > 0, wtedy możemy podzielić stronami przez 2 i mamy:
\(\displaystyle{ 2^{k-l-1} - 2^{l-1} = 1}\)
Wtedy dla l = 1 musi być k = 3 (co odnalazłeś), zaś dla l > 1 lewa strona dzieli się przez 2, a prawa nie, więc sprzeczność.