Oblicz dzielenie modulo wykorzystujac chinskie tw. o resztac

[tgc]

Wykorzystując chińskie twierdzenie o resztach podać ile wynosi:
\(\displaystyle{ 13^{294}\pmod{11}}\)
\(\displaystyle{ 13^{282}\pmod{26}}\)
O ile możliwe, prosiłbym rozwiązanie krok po kroku - zależy mi na idei/schemacie rozwiązania nie na wynikach.

[Vax]

W 1 przykładzie zbytnio chińskiego twierdzenia o resztach nie wykorzystasz, prędzej twierdzenie Eulera, mamy policzyć \(\displaystyle{ x \equiv 13^{294} \equiv 2^{294} \pmod{11}}\) z danego twierdzenia wynika \(\displaystyle{ 2^{10} \equiv 1 \pmod{11}/^{29} \Rightarrow 2^{290} \equiv 1 \pmod{11} /\cdot 2^4 \Rightarrow 2^{294} \equiv 16 \equiv 5 \pmod{11}}\)

W 2 przykładzie zauważamy \(\displaystyle{ 26 = 2\cdot 13}\) oraz \(\displaystyle{ (2,13)=1}\) więc z chińskiego twierdzenia o resztach wynika, że kongruencja \(\displaystyle{ x \equiv 13^{282} \pmod{26}}\) jest równoważna:

\(\displaystyle{ \begin{cases} x \equiv 13^{282} \equiv 1^{282} \equiv 1 \pmod{2}\\ x \equiv 13^{282} \equiv 0 \pmod{13} \end{cases}}\)

Z 2 kongruencji mamy \(\displaystyle{ x = 13a , a\in Z}\) wstawiamy do 1 i otrzymujemy: \(\displaystyle{ 13a \equiv 1 \pmod{2} \Leftrightarrow a \equiv 1 \pmod{2} \Leftrightarrow a = 2n+1 \Rightarrow x = 13(2n+1) = 26n+13}\) czyli \(\displaystyle{ 13^{294} \equiv 13 \pmod{26}}\)

Pozdrawiam.