Przybliżanie liczby ułamkiem o zadanym z góry mianowniku N

[empik85]

Witam, to mój pierwszy post tutaj

Mam problem, w książce "Teoria Liczb" Narkiewicza, jest pewien dowód, którego albo nie rozumiem, albo jest błędny/niekompletny. Rozchodzi się o dokładność przybliżania liczb ułamkiem o mianowniku N. Mam zatem dwa pytania.

1. Czemu nie można zagwarantować lepszego przybliżenia niż \(\displaystyle{ \frac{1}{N}}\)
2. Jednak dobierając odpowiednie N możemy zmniejszyć błąd do mniej niż \(\displaystyle{ \frac{1}{N^{2}}}\). Weźmy bowiem dowolną liczbę rzeczywistą \(\displaystyle{ \alpha$, i $N \in \mathbb{N}}\), rozpatrzmy liczby \(\displaystyle{ {r\alpha}}\) dla \(\displaystyle{ r=0,1,\ldots}\). Jest ich \(\displaystyle{ N+1}\), a ich wartości są z przedziału \(\displaystyle{ [0,1),}\) można zatem wybrać z nich dwie różniące się o mniej niż \(\displaystyle{ 1/N}\) powiedzmy: \(\displaystyle{ {r_{1}\alpha}, {r_{2}\alpha}~(0 \le r_{1} \le r_{1} \le 1)}\). Wówczas istnieje liczba całkowita \(\displaystyle{ P}\) taka, że dla \(\displaystyle{ Q=r_{2}-r_{1}}\) mamy:

\(\displaystyle{ \bigg | \alpha - \frac{P}{Q} \bigg| = \frac{1}{Q} | Q\alpha -P|= \frac{1}{Q}|(r_{2}-r_{1})\alpha -P | < \frac{1}{QN} \le \frac{1}{Q^{2}}.}\).

Czy ktoś prócz mnie widzi pewne nieścisłości?

[adek05]

Jeżeli przybliżasz ułamkiem, to dwa sąsiednie przybliżenia załatwiają przedział \(\displaystyle{ \bigg[\frac{k}{N},\frac{k+1}{N}\bigg]}\). Wniosek, że powinno być \(\displaystyle{ \frac{1}{2N}}\)...

[empik85]

Tak to się zgodzi jeśli chodzi o pierwszą część, ale w drugiej też chyba są nieścisłości.
Bo czemu niby liczby \(\displaystyle{ {r\alpha} ~r=0,1,\ldots N}\), są z przedziału \(\displaystyle{ [0,1)?}\)

[empik85]

Chciałbym odświeżyć temat, pytanie, może ktoś ma jakiś pomysł na dowód tego twierdzenia? Lub kojarzy książkę, w której to mogę znaleźć.

[Piotr Pstragowski]

Na Teorii Liczb nazywaliśmy to tw. Dirichleta o aproksymacji. To jest np. wniosek 5.3 tu -

[empik85]

Wielgachne dzięki!

[empik85]

Mam kolejne pytanie, czy ktoś wie jakiej książki jest to fragment? Starałem się wyszukać na ten temat informacji ale poprzez tamtą stronę mi się nie udało.