Podzielność liczb

[Kanodelo]

Niech \(\displaystyle{ p}\) będzie liczbą pierwszą postaci \(\displaystyle{ 3k+2}\), która dzieli \(\displaystyle{ a^2+ab+b^2}\), dla pewnych liczb całkowitych \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\). Udowodnij, że zarówno \(\displaystyle{ a}\), jak i \(\displaystyle{ b}\) są podzielne przez \(\displaystyle{ p}\).

[Rogal]

Rozważ po prostu przypadki na a i b.

[Sylwek]

Jeśli p|a, to także p|b i vice versa. Zatem przypuśćmy, że ani a, ani b nie jest podzielne przez p.

Wówczas:
\(\displaystyle{ a^2+ab+b^2 \equiv 0 \Rightarrow (a-b)(a^2+ab+b^2) \equiv 0 \iff a^3 \equiv b^3 \Rightarrow a^{6k+3} \equiv b^{6k+3} \Rightarrow (a^2)^{3k+1} \cdot a \equiv (b^2)^{3k+1} \cdot b \Rightarrow a \equiv b}\)

Wszystko modulo p, użyłem też Małego Twierdzenia Fermata dla \(\displaystyle{ p=3k+2}\) i liczb \(\displaystyle{ a^2, b^2}\). Stąd: \(\displaystyle{ 0 \equiv a^2+ab+b^2 \equiv a^2+a^2+a^2 \equiv 3a^2}\), czyli \(\displaystyle{ p|3a^2}\), ale a nie jest podzielna przez p, to oznacza \(\displaystyle{ p|3}\), więc \(\displaystyle{ p=3}\), a to nie jest liczba postaci \(\displaystyle{ 3k+2}\) - sprzeczność.