Granica pewnej sumy trójkąta Pascala

[matemix]

Rozważmy pewne sumy wyrazów w wierszach trójkąta Pascala. W (n-1)-tym wierszu trójkąta jest n wyrazów. Niech nasze sumy będą sumami \(\displaystyle{ [\frac {n \cdot ln(2)}{ln(3)}]}\) kolejnych wyrazów w kolejnych wierszach, przy czym kwadratowy nawias oznacza zaokrąglenie do liczby całkowitej.

Przykład: wiersz piąty:

1 5 10 10 5 1

Mamy tu 6 wyrazów, zatem \(\displaystyle{ [\frac {6 \cdot ln(2)}{ln(3)}=3,79]=4}\). Tworzymy zatem sumę:

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{4} = 1+5+10+10 = 26}\)

Tak samo postępujemy dla kolejnych wierszy trójkąta. Moje pytanie jest o granicę:


\(\displaystyle{ \lim_{k\to\infty} \frac {\sum}{2^k}}\)

k to numer wiersza w trójkącie, \(\displaystyle{ 2^k}\) to suma wszystkich wyrazów w danym wierszu, a suma w liczniku to suma zdefiniowana tak jak powyżej, w której sumujemy odpowiednią ilość kolejnych wyrazów k-tego wiersza. Podejrzewam, że ta granica wynosi 1, ale nie potrafię tego udowdnić.

[smigol]

W każdym wierszu trójkąta jest n wyrazów.

To wtedy nie mamy trójkąta.

[matemix]

W każdym wierszu trójkąta jest n wyrazów.

To wtedy nie mamy trójkąta.

Już poprawiłem. W (n-1)-tym, a nie w każdym

-- 31 maja 2011, 16:32 --

Hmm, być może zamieściłem to zadanie w nieco nieodpowiednim dziale, bo wydaje mi się, że trzeba tu policzyć całkę czy sumę z rozkładu dwumianowego z paramatetrami (n,p), pzy n dążącym do nieskończoności w granicach od 0 do ln(2)/ln(3)*n i drugą od ln(2)/ln(3)*n do n. I iloraz tych całek będzie naszą szukaną granicą.

-- 31 maja 2011, 17:20 --

Albo całkę z rozkładu normalnego, tylko nie wiem jakie przyjąc wtedy odchylenie standardowe?

-- 1 czerwca 2011, 19:41 --

Innymi słowy mamy tu do policzenia coś takiego:

\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \frac {\sum_{i=1}^{[\frac {ln(2) \cdot n}{ln(3)}]} {n\choose p_{i}}}{\sum_{i=1}^{n} {n\choose p_{i}}}}\)

Przy czym nawias kwadratowy to część całkowita.

Gdy n = 300 nasz iloczyn wynosi:

\(\displaystyle{ \frac {2037031392266379973082586037371611876920576863229134446493670135644966259845354234166190911}{2037035976334486086268445688409378161051468393665936250636140449354381299763336706183397375} \approx 0.999998}\)

Widać zatem, że to zbiega raczej do 1.[/quote]-- 1 czerwca 2011, 20:04 --Z drugiej strony to wydaje mi się nieco dziwne... Bo jak całka z czegoś co przypomina rozkład normalny (rozkład dwumianowy dla dużej ilości prób staje się w przybliżeniu normalny) zdefiniowana jak powyżej może być równa całce z całego rozkładu? Będzie jej równa gdy nasza górna granica całkowania czyli \(\displaystyle{ \frac {ln() \cdot n}{ln(3)}}\) z położenia blisko modalnej rozkładu "przesunie się" raczej blisko krańcowych, minimalnych wartości tego rozkładu. Tak może się stać gdyby rozkład miał infinitezymalnie małe odchylenie standardowe do ilości prób n, a przecież nie odnotowujemy zdaje się takiej prawidłowości dla rozkładu bernoulliego?

Hmm, a może gdy budujemy ten wykres literalnie na liczbach z trójkąta Pascala, to właśnie tak się dzieje?