Weźmy sobie skończony (x+1)-wyrazowy ciąg którego kolejne wyrazy to:
\(\displaystyle{ c_1=\frac {3^0}{2^x}}\)
\(\displaystyle{ c_2=\frac {3^1}{2^x}}\)
\(\displaystyle{ c_3=\frac {3^2}{2^x}}\)
\(\displaystyle{ c_4=\frac {3^3}{2^x}}\)
...
\(\displaystyle{ c_{(x+1)}=\frac {3^x}{2^x}}\)
Przykład:
\(\displaystyle{ c_1=\frac {3^0}{2^3}}\)
\(\displaystyle{ c_2=\frac {3^1}{2^3}}\)
\(\displaystyle{ c_3=\frac {3^2}{2^3}}\)
\(\displaystyle{ c_4=\frac {3^3}{2^3}}\)
W tym ciągu istnieje pewien wyraz \(\displaystyle{ c_g}\) graniczny powyżej którego wszystkie wyrazy są większe od 1 i poniżej którego wszystkie są mniejsze od 1 i który sam jest mniejszy od 1. W powyższym przykładzie ten wyraz to wyraz \(\displaystyle{ c_2}\).
Szukam granicy:
\(\displaystyle{ \lim_{x+1\to\infty} \frac {x+1}{g}}\)
Przy czym g to numer tego wyrazu granicznego. Podejrzewam, że wynosi ona \(\displaystyle{ \frac {ln3}{ln2}}\), ale nie potrafię tego udowodnić.
Granica pewnego ciągu
-
Mortify
- Użytkownik
- Posty: 768
- Rejestracja: 22 lis 2007, o 22:39
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Biała Podlaska / MIMUW
- Podziękował: 27 razy
- Pomógł: 164 razy
Granica pewnego ciągu
Coś tu te zapisy się kupy nie trzymają..
Jeśli \(\displaystyle{ c(x+1) = \frac{3^x}{2^x}}\), to dlaczego masz stałą potęgę w mianownikach? (w przykładzie).
Ponadto jeśli \(\displaystyle{ g}\) - numer granicznego wyrazu, więc jest to pewnie jakaś skończona liczba, więc:
\(\displaystyle{ \lim_{x\to\infty} \frac{x+1}{g} = +\infty}\), bo licznik dąży do nieskończoności, a mianownik to jakaś skończona liczba. (np w kolejnym przykładzie, co pokazujesz\(\displaystyle{ g=2}\)).
Więc pewnie nie o to Ci chodziło..
Jeśli \(\displaystyle{ c(x+1) = \frac{3^x}{2^x}}\), to dlaczego masz stałą potęgę w mianownikach? (w przykładzie).
Ponadto jeśli \(\displaystyle{ g}\) - numer granicznego wyrazu, więc jest to pewnie jakaś skończona liczba, więc:
\(\displaystyle{ \lim_{x\to\infty} \frac{x+1}{g} = +\infty}\), bo licznik dąży do nieskończoności, a mianownik to jakaś skończona liczba. (np w kolejnym przykładzie, co pokazujesz\(\displaystyle{ g=2}\)).
Więc pewnie nie o to Ci chodziło..
-
matemix
- Użytkownik
- Posty: 465
- Rejestracja: 10 cze 2008, o 19:38
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 1 raz
Granica pewnego ciągu
Bo potęga w mianownikach nie zależy od numerów kolejnych wyrazów ciągu (jest stała), a tylko od wyrazu ostatniego, mianowicie jest o 1 mniejsza od jego numeru.Mortify pisze:Coś tu te zapisy się kupy nie trzymają..
Jeśli \(\displaystyle{ c(x+1) = \frac{3^x}{2^x}}\), to dlaczego masz stałą potęgę w mianownikach? (w przykładzie).
Nie jest to skończona liczba, wyraz graniczny przesuwa się i jego numer rośnie razem z x.Mortify pisze:Ponadto jeśli \(\displaystyle{ g}\) - numer granicznego wyrazu, więc jest to pewnie jakaś skończona liczba, więc:
\(\displaystyle{ \lim_{x\to\infty} \frac{x+1}{g} = +\infty}\), bo licznik dąży do nieskończoności, a mianownik to jakaś skończona liczba. (np w kolejnym przykładzie, co pokazujesz\(\displaystyle{ g=2}\)).
-
abc666
Granica pewnego ciągu
Masz ciąg
\(\displaystyle{ c(x,k)=\frac{3^x}{2^k}}\)
gdzie \(\displaystyle{ k}\) to pewna stała, szukasz największego takiego \(\displaystyle{ x}\) że
\(\displaystyle{ c(x,k)<1}\)
logarytmujesz sobie stronami
\(\displaystyle{ \ln c(x,k)<0}\)
czyli
\(\displaystyle{ \ln 3^x - \ln 2^k<0\\
x\ln 3 < k\ln 2 \\
x < k \frac{\ln 2}{\ln 3}}\)
Największym takim całkowitym \(\displaystyle{ x}\) jest oczywiście
\(\displaystyle{ x_g=\left\lfloor k \frac{\ln 2}{\ln 3} \right\rfloor}\)
Teraz chcesz znaleźć granicę
\(\displaystyle{ \lim_{k\to \infty} \frac{k+1}{x_g}=\lim_{k\to \infty} \frac{k+1}{\left\lfloor k \frac{\ln 2}{\ln 3} \right\rfloor}}\)
Szacujesz tą podłogę z 3 ciągów i dostaniesz taką granicę o jakiej pisałeś.
\(\displaystyle{ c(x,k)=\frac{3^x}{2^k}}\)
gdzie \(\displaystyle{ k}\) to pewna stała, szukasz największego takiego \(\displaystyle{ x}\) że
\(\displaystyle{ c(x,k)<1}\)
logarytmujesz sobie stronami
\(\displaystyle{ \ln c(x,k)<0}\)
czyli
\(\displaystyle{ \ln 3^x - \ln 2^k<0\\
x\ln 3 < k\ln 2 \\
x < k \frac{\ln 2}{\ln 3}}\)
Największym takim całkowitym \(\displaystyle{ x}\) jest oczywiście
\(\displaystyle{ x_g=\left\lfloor k \frac{\ln 2}{\ln 3} \right\rfloor}\)
Teraz chcesz znaleźć granicę
\(\displaystyle{ \lim_{k\to \infty} \frac{k+1}{x_g}=\lim_{k\to \infty} \frac{k+1}{\left\lfloor k \frac{\ln 2}{\ln 3} \right\rfloor}}\)
Szacujesz tą podłogę z 3 ciągów i dostaniesz taką granicę o jakiej pisałeś.