Przystawanie modulo 17

[Adam656]

Udowodnij, że:
\(\displaystyle{ 2 ^{70} + 3 ^{70} \equiv 0 (mod \ 17)}\)
Próbowałem zacząć czyli
\(\displaystyle{ 2 ^{3} +3 ^{2} \equiv 0 (mod \ 17)}\)
Ale nie wiem co dalej zrobić
Pozdrawiam

[ares41]

spróbuj wykazać, że \(\displaystyle{ 2^{70}\equiv a (mod \ 17)}\) i
\(\displaystyle{ 3^{70}\equiv -a (mod \ 17)}\)

[Vax]

Tylko, że to nieprawda, zauważ, że (z Małego twierdzenia Fermata mamy \(\displaystyle{ 3^{16} \equiv 1 \pmod {17}}\):

\(\displaystyle{ 2^{70}+3^{70} \equiv 2^2 \cdot (2^4)^{17} + 3^6 \cdot (3^{16})^{4} \equiv 4\cdot (-1)^{17} + 3^6 \cdot 1 \equiv -4 + (27)^2 \equiv -4+10^2 \equiv 96 \equiv 11 \pmod {17}}\)

Pozdrawiam.

[ares41]

No tak, racja, próbowałem to udowodnić na siłę

[Adam656]

To zadanie jak dobrze pamiętam z Sierpinskiego

[Vax]

W Sierpińskim udało mi się znaleźć taki przykład, być może źle przepisałeś, \(\displaystyle{ 2^{70}+3^{70} \equiv 0 \pmod{13}}\) wówczas zauważamy, że \(\displaystyle{ 2^{70}+3^{70} \equiv 4\cdot (2^4)^{17}+3\cdot (3^3)^{23} \equiv 4\cdot 3^{17} +3\cdot 1^{23} \equiv 4\cdot 9 \cdot (3^3)^5 +3 \equiv 36+3 \equiv 0\pmod {13}}\)

Pozdrawiam.