0 1
1 1 1
2 1 2 1
3 1 3 3 1
4 1 4 6 4 1
5 1 5 10 10 5 1
6 1 6 15 20 15 6 1
7 1 7 21 35 35 21 7 1
8 1 8 28 56 70 56 28 8 1
9 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1
Rozważmy sumy kolejnych elementów trójkąta Pascala. Pierwszą sumę tworzymy dodając elementy brane z jednej połowy trójkąta w parzystych wierszach łącznie z elementem środkowym. Drugą tworzymy biorąc elementy w nieparzystych wierszach po jednej ze stron trójkąta tylko, że teraz wliczamy także dwa elementy po środku wiersza.
Przykłady:
Suma 1:
0. 1
2. 3
4. 11
6. 42
itd.
Suma 2:
1. 1
3. 7
5. 26
7. 99
itd.
Moje pytanie jest o to do czego dąży iloraz kolejnych powyższych sum dzielonych przez sumę wszystkich wyrazów w danym wierszu dla sumy 1 i dla sumy 2. Dla sumy 1 mamy:
0. 1/1
2. 3/4
4. 11/16
6. 42/64
itd.
Dla sumy 2:
1. 1/2
3. 7/8
5. 26/32
7. 99/128
itd.
Zatem ogólnie należy zbadać granice:
\(\displaystyle{ \lim_{k\to\infty} \frac {2^{2k-1}+{2k-1\choose k}}{2^{2k}}}\)
oraz
\(\displaystyle{ \lim_{k\to\infty} \frac {2^{2k}+{2k+1\choose k+1}}{2^{2k+1}}}\)
Pospieszyłem się z tym pytaniem... już wiem, że obie te granice są równie \(\displaystyle{ \frac {1}{2}{}\).