wielokrotność 9, 7 i 4

[WSP]

Jak znaleźć liczbę x, która:

\(\displaystyle{ x - 1}\) jest wielokrotnością 9
\(\displaystyle{ x - 2}\) jest wielokrotnością 7
\(\displaystyle{ x - 3}\) jest wielokrotnością 4

[Vax]

Czyli:

\(\displaystyle{ \begin{cases} x \equiv 1 \pmod{9}\\ x\equiv 2\pmod{7} \\ x\equiv 3\pmod{4} \end{cases}}\)

Teraz albo korzystamy z Chińskiego twierdzenia o resztach, albo podstawiamy, z 1 mamy \(\displaystyle{ x=9a+1}\) wstawiamy do 2: \(\displaystyle{ 9a+1 \equiv 2\pmod{7} \Leftrightarrow 2a \equiv 1\pmod{7} /\cdot 4 \Rightarrow a \equiv 4\pmod{7} \Leftrightarrow a=7b+4}\) czyli \(\displaystyle{ x = 9(7b+4)+1 = 63b+37}\)

Wstawiamy do 3: \(\displaystyle{ 63b+37 \equiv 3 \pmod{4} \Leftrightarrow 3b \equiv 2 \pmod{4} /\cdot 3 \Rightarrow b \equiv 2\pmod{4} \Leftrightarrow b = 4n+2}\) czyli:

\(\displaystyle{ x = 63(4n+2)+37 = 252n+163}\)

I takie liczby dla dowolnego całkowitego n spełniają tezę zadania

Pozdrawiam.

[WSP]

Może ktoś jeszcze wyjaśnić skąd to przejście?
\(\displaystyle{ 9a + 1 \equiv 2 (mod 7) \Leftrightarrow 2a \equiv 1 (mod 7) / \cdot 4}\)

[Vax]

\(\displaystyle{ 9a+1\equiv 2 \pmod{7}}\)

Teraz obustronnie odejmuję 1:

\(\displaystyle{ 9a \equiv 1 \pmod{7}}\)

Zauważam, że \(\displaystyle{ 9 \equiv 2\pmod{7} \Rightarrow 9a \equiv 2a \pmod{7}}\) i wstawiając do poprzedniej kongruencji otrzymuję \(\displaystyle{ 2a \equiv 1 \pmod{7}}\)

Pozdrawiam.