Rozwiąż równanie w zbiorze liczb całkowitych

bliznieta07129 · Post autor: **bliznieta07129** » 23 maja 2011, o 18:57

Rozwiąż równanie w zbiorze liczb całkowitych
\(\displaystyle{ x ^{2} -4x-y ^{2} =-2}\)

Vax · Post autor: **Vax** » 23 maja 2011, o 18:59

\(\displaystyle{ x^2-4x-y^2 = -2 /+4}\)

\(\displaystyle{ x^2-4x+4-y^2 = 2}\)

\(\displaystyle{ (x-2)^2-y^2 = 2}\)

\(\displaystyle{ (x-2-y)(x-2+y) = 2}\)

Dalej łatwo, tworzysz kilka układów równań i wyznaczasz wszystkie rozwiązania

Pozdrawiam.

Luxxar · Post autor: **Luxxar** » 23 maja 2011, o 20:13

Można jeszcze uprościć to w taki sposób :
\(\displaystyle{ y^2=x^2-4x+2}\)
\(\displaystyle{ y= \sqrt{x^2-4x+2}\\ y= -\sqrt{x^2-4x+2}}\)

Pozdrawiam
Luxxar

Marcinek665 · Post autor: **Marcinek665** » 23 maja 2011, o 20:23

No to żeś uprościł, chłopie...

Luxxar · Post autor: **Luxxar** » 23 maja 2011, o 20:54

Ale w tej postaci widać że nie ma rozwiązań w całkowitych bo nie da się zwinąć pod pierwiastkiem w kwadrat,a to oszczędza niepotrzebnego liczenia. Przynajmniej takie jest moje odczucie.

Marcinek665 · Post autor: **Marcinek665** » 23 maja 2011, o 21:09

No tutaj musiałbyś się jeszcze dodatkowo usprawiedliwić, że skoro \(\displaystyle{ y}\) jest całkowite, to jest to równoważne temu, że pierwiastek z tego trójmianu jest całkowity, a to może zajść tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ x^2 - 4x + 2}\) jest kwadratem. I wydaje mi się, że uzasadnienie \(\displaystyle{ (x-2)^2 = x^2 - 4x + 4}\) jest tutaj niewystarczające.

Napisałbym, że \(\displaystyle{ (x-2)^2 > x^2 - 4x + 2 > (x-1)^2}\), więc na pewno nie jest ta liczba kwadratem liczby całkowitej i wtedy byłoby finito. No tylko, że to nie działa dla wszystkich \(\displaystyle{ x}\) xd

Xitami · Post autor: **Xitami** » 23 maja 2011, o 22:45

x^2-4x+2 daje resztę 2 lub 3 przy dzieleniu przez 4
a kwadrat daje 0 albo 1