Witam, mam problem z zadaniem.
Ile jest wszystkich liczb \(\displaystyle{ x}\) należących do zbioru \(\displaystyle{ {1,2,3,...,1998}}\) takich, że liczba \(\displaystyle{ x^2 + 19}\) jest podzielna przez:
a) \(\displaystyle{ 5}\)
b) \(\displaystyle{ 4}\)
c) \(\displaystyle{ 3}\)
Pozdrawiam
Adam
Ilość liczb podzielnych przez l. naturalne
-
Vax
- Użytkownik
- Posty: 2913
- Rejestracja: 27 kwie 2010, o 22:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Biała Podlaska / Warszawa
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 612 razy
Ilość liczb podzielnych przez l. naturalne
a) Musi zachodzić \(\displaystyle{ x^2+19 \equiv 0 \pmod{5} \Leftrightarrow x^2 \equiv 1 \pmod{5} \Leftrightarrow x \equiv \pm 1 \pmod{5} \Leftrightarrow x = 5n-4 \vee x=5n-1}\)
Teraz sprawdzamy oddzielnie ile wyrazów ciągu \(\displaystyle{ a_n = 5n-4}\) oraz \(\displaystyle{ b_n = 5n-1}\) należy do zbioru \(\displaystyle{ \lbrace{1,2,3,...,1998\rbrace}\) i sumujemy wyniki \(\displaystyle{ 5n-4 = 1998 \Rightarrow n=400}\) (bierzemy część całkowitą wyniku) tak samo \(\displaystyle{ 5n-1 = 1998 \Rightarrow n = 399}\) czyli ilość takich iksów należących do danego zbioru wynosi \(\displaystyle{ 400+399 = 799}\)
b) \(\displaystyle{ x^2+19 \equiv 0\pmod {4} \Leftrightarrow x^2 \equiv 1 \pmod{4} \Leftrightarrow x \equiv \pm 1\pmod {4} \Leftrightarrow x=4n-1 \vee x=4n-3}\)
\(\displaystyle{ 4n-1 = 1998 \Rightarrow n = 499}\) , \(\displaystyle{ 4n-3 = 1998 \Rightarrow 500}\) i otrzymujemy \(\displaystyle{ 499+500 = 999}\)
c) \(\displaystyle{ x^2+19 \equiv 0 \pmod {3} \Leftrightarrow x^2 \equiv 2 \pmod {3}}\) i tutaj kończymy, bo 2 jest nieresztą kwadratową modulo 3, więc nie istnieje takie x.
Pozdrawiam.
Teraz sprawdzamy oddzielnie ile wyrazów ciągu \(\displaystyle{ a_n = 5n-4}\) oraz \(\displaystyle{ b_n = 5n-1}\) należy do zbioru \(\displaystyle{ \lbrace{1,2,3,...,1998\rbrace}\) i sumujemy wyniki \(\displaystyle{ 5n-4 = 1998 \Rightarrow n=400}\) (bierzemy część całkowitą wyniku) tak samo \(\displaystyle{ 5n-1 = 1998 \Rightarrow n = 399}\) czyli ilość takich iksów należących do danego zbioru wynosi \(\displaystyle{ 400+399 = 799}\)
b) \(\displaystyle{ x^2+19 \equiv 0\pmod {4} \Leftrightarrow x^2 \equiv 1 \pmod{4} \Leftrightarrow x \equiv \pm 1\pmod {4} \Leftrightarrow x=4n-1 \vee x=4n-3}\)
\(\displaystyle{ 4n-1 = 1998 \Rightarrow n = 499}\) , \(\displaystyle{ 4n-3 = 1998 \Rightarrow 500}\) i otrzymujemy \(\displaystyle{ 499+500 = 999}\)
c) \(\displaystyle{ x^2+19 \equiv 0 \pmod {3} \Leftrightarrow x^2 \equiv 2 \pmod {3}}\) i tutaj kończymy, bo 2 jest nieresztą kwadratową modulo 3, więc nie istnieje takie x.
Pozdrawiam.