Proszę o pomoc w rozwiązaniu sumy:
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n} \binom {n} {k} \frac{k!}{(n+k+1)!}}\)
Z góry dziękuję!!
Bardzo trudna i dziwna suma
-
Qń
- Użytkownik
- Posty: 9833
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 2632 razy
Bardzo trudna i dziwna suma
Mamy:
\(\displaystyle{ \binom {n} {k} \cdot \frac{k!}{(n+k+1)!}=\frac{n!}{(n-k)!\cdot (n+k+1)!}=\\ =\frac{n!}{(2n+1)!}\cdot \frac{(2n+1)!}{(n-k)!}\cdot (n+k+1)!=\frac{n!}{(2n+1)!}\cdot \binom{2n+1}{n+k+1}}\)
Wystarczy zatem policzyć:
\(\displaystyle{ \sum_{k\ge 0}\binom{2n+1}{n+k+1}=\sum_{k=n+1}^{2n+1}\binom {2n+1}{k}}\)
Ale:
\(\displaystyle{ \sum_{k=n+1}^{2n+1}\binom {2n+1}{k}=\sum_{k=0}^{n}\binom {2n+1}{k}=\frac 12 \cdot \sum_{k=0}^{2n+1}\binom {2n+1}{k}}\) (dlaczego?)
Stąd już łatwo o końcowy wniosek.
Q.
\(\displaystyle{ \binom {n} {k} \cdot \frac{k!}{(n+k+1)!}=\frac{n!}{(n-k)!\cdot (n+k+1)!}=\\ =\frac{n!}{(2n+1)!}\cdot \frac{(2n+1)!}{(n-k)!}\cdot (n+k+1)!=\frac{n!}{(2n+1)!}\cdot \binom{2n+1}{n+k+1}}\)
Wystarczy zatem policzyć:
\(\displaystyle{ \sum_{k\ge 0}\binom{2n+1}{n+k+1}=\sum_{k=n+1}^{2n+1}\binom {2n+1}{k}}\)
Ale:
\(\displaystyle{ \sum_{k=n+1}^{2n+1}\binom {2n+1}{k}=\sum_{k=0}^{n}\binom {2n+1}{k}=\frac 12 \cdot \sum_{k=0}^{2n+1}\binom {2n+1}{k}}\) (dlaczego?)
Stąd już łatwo o końcowy wniosek.
Q.