Witam.
Kiedy można (i dlaczego) pierwiastkować kongruencje?
Np. spotkałem się z tym, iż dla \(\displaystyle{ a}\) względnie pierwszego z 31, z \(\displaystyle{ a^{30} \equiv 1 (mod \ 31)}\) wynika, że \(\displaystyle{ a^{15} \equiv \pm 1 (mod \ 31)}\)
Z góry dziękuję.
Pierwiastkowanie kongruencji
-
xiikzodz
- Użytkownik
- Posty: 1874
- Rejestracja: 4 paź 2008, o 02:13
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Lost Hope
- Podziękował: 28 razy
- Pomógł: 502 razy
Pierwiastkowanie kongruencji
Można pierwiastkować kongruencje zachowując tę samą ostrożność, co przy pierwiastkowaniu równań ze zmiennymi rzeczywistymi.
Tu na przykład mamy:
\(\displaystyle{ a^{30} =1}\)
wobec tego
\(\displaystyle{ a^{15}}\)
jest taką liczbą \(\displaystyle{ b}\), że:
\(\displaystyle{ b^2=1}\).
W ciele \(\displaystyle{ \mathbb{F}_{31}}\) (a dokładniej w każdym ciele charakterystyki różnej od \(\displaystyle{ 2}\)) są dwa pierwiastki z jedynki *):
\(\displaystyle{ 1, -1}\),
zatem
\(\displaystyle{ b=1}\) lub \(\displaystyle{ b=-1}\).
*) Ten fakt łatwo dowodzimy: jeśli \(\displaystyle{ a^2=1}\), to \(\displaystyle{ (a+1)(a-1)=0}\) zatem albo \(\displaystyle{ a=1}\), albo \(\displaystyle{ a=-1}\), bo w ciałach nie ma dzielników zera. W ciele charakterystyki różnej od \(\displaystyle{ 2}\) są to różne liczby.
Tu na przykład mamy:
\(\displaystyle{ a^{30} =1}\)
wobec tego
\(\displaystyle{ a^{15}}\)
jest taką liczbą \(\displaystyle{ b}\), że:
\(\displaystyle{ b^2=1}\).
W ciele \(\displaystyle{ \mathbb{F}_{31}}\) (a dokładniej w każdym ciele charakterystyki różnej od \(\displaystyle{ 2}\)) są dwa pierwiastki z jedynki *):
\(\displaystyle{ 1, -1}\),
zatem
\(\displaystyle{ b=1}\) lub \(\displaystyle{ b=-1}\).
*) Ten fakt łatwo dowodzimy: jeśli \(\displaystyle{ a^2=1}\), to \(\displaystyle{ (a+1)(a-1)=0}\) zatem albo \(\displaystyle{ a=1}\), albo \(\displaystyle{ a=-1}\), bo w ciałach nie ma dzielników zera. W ciele charakterystyki różnej od \(\displaystyle{ 2}\) są to różne liczby.