Wielokrotność liczby, zadana postać

[patry93]

Witam.
Pokazać, że jeśli \(\displaystyle{ a \in \mathbb{Z}_+ , \ NWD (a, 10) = 1}\), to istnieje \(\displaystyle{ k \in \mathbb{Z}_+}\), że liczba \(\displaystyle{ ak}\) jest postaci \(\displaystyle{ 111 \ldots 11}\).

Proszę o sprawdzenie:

Ukryta treść:    

Z tw. Eulera mamy \(\displaystyle{ 10^{ \phi (a) } \equiv 1 ( mod \ a)}\), więc
\(\displaystyle{ \underbrace{11 \ldots 1 }_{ \phi (a) } = \frac{10^{ \phi (a) } -1}{9} \equiv \frac{1-1}{9} \equiv 0 ( mod \ a)}\)
Więc \(\displaystyle{ k = \phi (a)}\)

[Qń]

Z tw. Eulera mamy \(\displaystyle{ 10^{ \phi (a) } \equiv 1 ( mod \ a)}\), więc
\(\displaystyle{ \underbrace{11 \ldots 1 }_{ \phi (a) } = \frac{10^{ \phi (a) } -1}{9} \equiv \frac{1-1}{9} \equiv 0 ( mod \ a)}\)
Więc \(\displaystyle{ k = \phi (a)}\)

W szczególności zatem \(\displaystyle{ 3 \cdot \phi (3) = 11}\) ?
Oraz \(\displaystyle{ 3=\frac 93 \equiv \frac 63=2 \mod 3}\) ?

Sprawdź jakie operacje wolno wykonywać w kongruencjami.

Q.

[patry93]

Hm, nie wiadomo, czy 9 ma element odwrotny w \(\displaystyle{ mod \ a}\), stąd ta niepoprawność?
Tzn. jeśli \(\displaystyle{ NWD (a, 9) = 1}\) to rozwiązanie jest OK, natomiast drugi przypadek należałoby rozpatrzeć osobno? Tu proszę o wskazówkę, nie widzę, jak to ruszyć.

[Qń]

Niepoprawność bierze się stąd, że na ogół kongruencji nie można dzielić stronami, a Ty to zrobiłeś.

Q.