Rozwiązać układy kongruencji
-
- Użytkownik
- Posty: 218
- Rejestracja: 12 sty 2011, o 17:05
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
Rozwiązać układy kongruencji
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=2\left( mod 5\right) \\ x=8\left( mod 11\right) \end{cases}}\)
- Vax
- Użytkownik
- Posty: 2913
- Rejestracja: 27 kwie 2010, o 22:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Biała Podlaska / Warszawa
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 612 razy
Rozwiązać układy kongruencji
Albo od razu z Chińskiego twierdzenia o resztach, a jeżeli nie znasz, to można podstawiać, z 1 mamy \(\displaystyle{ x=5a+2}\) wstawiamy do 2: \(\displaystyle{ 5a+2 \equiv 8\pmod{11} \Leftrightarrow 5a\equiv 6\pmod{11}/\cdot 9 \Rightarrow a \equiv 10\pmod{11} \Leftrightarrow a = 11b+10}\) czyli:
\(\displaystyle{ x = 5(11b+10)+2 = 55b+52}\)
Pozdrawiam.
\(\displaystyle{ x = 5(11b+10)+2 = 55b+52}\)
Pozdrawiam.
-
- Użytkownik
- Posty: 218
- Rejestracja: 12 sty 2011, o 17:05
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
Rozwiązać układy kongruencji
Dzięki;)-- 16 maja 2011, o 20:20 --mam pytanie jeszcze skąd się wzieło a=10(mod11)?
Rozwiązać układy kongruencji
ja zapytałbym raczej skąd się wzięło 9
\(\displaystyle{ 5a=6\ (\mod 11) / \cdot 9\\
5\cdot 9a=6\cdot 9\ (\mod 11)\\
5\cdot 9=1\ (\mod 11)\\
6\cdot 9=10\ (\mod 11)}\)
więc
\(\displaystyle{ a=10\ (\mod 11)}\)
\(\displaystyle{ 5a=6\ (\mod 11) / \cdot 9\\
5\cdot 9a=6\cdot 9\ (\mod 11)\\
5\cdot 9=1\ (\mod 11)\\
6\cdot 9=10\ (\mod 11)}\)
więc
\(\displaystyle{ a=10\ (\mod 11)}\)
Ostatnio zmieniony 17 maja 2011, o 09:55 przez Afish, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Niepoprawnie napisany kod LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z http://matematyka.pl/178502.htm .
Powód: Niepoprawnie napisany kod LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z http://matematyka.pl/178502.htm .
Rozwiązać układy kongruencji
Skąd się wzięło 9?ja zapytałbym raczej skąd się wzięło 9
Rozumiem że potrzebujemy jakiejś ładnej liczby, ale skąd wiadomo jakiej?
- Vax
- Użytkownik
- Posty: 2913
- Rejestracja: 27 kwie 2010, o 22:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Biała Podlaska / Warszawa
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 612 razy
Rozwiązać układy kongruencji
Mamy kongruencje \(\displaystyle{ 5a \equiv 6\pmod {11}}\)
Chcemy tą kongruencje pomnożyć przez taką liczbę, żeby przy naszej niewiadomej stała 1, czyli inaczej mówiąc mamy znaleźć takie x, aby \(\displaystyle{ 5\cdot x \equiv 1 \pmod{11}}\) oczywiście \(\displaystyle{ (5,11)=1}\) więc taki x na pewno istnieje, mówiąc inaczej mamy znaleźć element odwrotny do 5 modulo 11, tutaj już możemy się posłużyć rozszerzonym algorytmem Euklidesa, co było wielokrotnie pokazywane na forum, np tutaj:
39038.htm?hilit=rozszerzonego%20algorytmu%20euklidesa
Tak dostajemy \(\displaystyle{ x\equiv 9\pmod{11}}\), a następnie mnożymy przez to naszą kongruencje i dostajemy \(\displaystyle{ a\equiv 10\pmod{11}}\)
Pozdrawiam.
Chcemy tą kongruencje pomnożyć przez taką liczbę, żeby przy naszej niewiadomej stała 1, czyli inaczej mówiąc mamy znaleźć takie x, aby \(\displaystyle{ 5\cdot x \equiv 1 \pmod{11}}\) oczywiście \(\displaystyle{ (5,11)=1}\) więc taki x na pewno istnieje, mówiąc inaczej mamy znaleźć element odwrotny do 5 modulo 11, tutaj już możemy się posłużyć rozszerzonym algorytmem Euklidesa, co było wielokrotnie pokazywane na forum, np tutaj:
39038.htm?hilit=rozszerzonego%20algorytmu%20euklidesa
Tak dostajemy \(\displaystyle{ x\equiv 9\pmod{11}}\), a następnie mnożymy przez to naszą kongruencje i dostajemy \(\displaystyle{ a\equiv 10\pmod{11}}\)
Pozdrawiam.
Rozwiązać układy kongruencji
Po wyznaczeniu rozszerzonym algorytmem Euklidesa wychodzi, że \(\displaystyle{ 1=11-5*2}\). Czy mógłbyś napisać jak teraz to przekształcić w \(\displaystyle{ x\equiv 9\pmod{11}}\)? Jedyne co mi przychodzi do głowy to zapisać wynik alg Euklidesa jako \(\displaystyle{ x\equiv -10\pmod{11}}\) Jakoś nie mogę pojąć jak się mają równania do kongruencji
- Psiaczek
- Użytkownik
- Posty: 1502
- Rejestracja: 22 lis 2010, o 09:53
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska, Warmia, Olsztyn :)
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 475 razy
Rozwiązać układy kongruencji
Współczynnik przy piątce wyszedł ci minus dwa, jeśli wyjdzie ujemny to dodajesz jedenastkę do tych minus dwóch i uzyskujesz dziewiątkę o której była mowaIloveAlgebra pisze:Po wyznaczeniu rozszerzonym algorytmem Euklidesa wychodzi, że \(\displaystyle{ 1=11-5*2}\). Czy mógłbyś napisać jak teraz to przekształcić w \(\displaystyle{ x\equiv 9\pmod{11}}\)? Jedyne co mi przychodzi do głowy to zapisać wynik alg Euklidesa jako \(\displaystyle{ x\equiv -10\pmod{11}}\) Jakoś nie mogę pojąć jak się mają równania do kongruencji
Rozwiązać układy kongruencji
Jedenastkę do -2? Jakże? \(\displaystyle{ 1=11+5*9}\).
Widzę takie coś, że z \(\displaystyle{ 5x\equiv1(mod 11)}\) jest \(\displaystyle{ 5x+11y=1}\), a z Euklidesa \(\displaystyle{ 5*(-2)+11*1=1}\),ale wniosków z tego nie widzę.
Widzę takie coś, że z \(\displaystyle{ 5x\equiv1(mod 11)}\) jest \(\displaystyle{ 5x+11y=1}\), a z Euklidesa \(\displaystyle{ 5*(-2)+11*1=1}\),ale wniosków z tego nie widzę.