teoria liczb kongruencje

[zoik1989]

mam problem z dwoma zadaniami dotyczącymi kongruencji. bardzo prosze o pomoc
1.zbadaj czy kongruencje mają rozwiazania:
\(\displaystyle{ x^{2} \equiv 5\ mod(23)}\)
\(\displaystyle{ 2x^{2}+7x-10 \equiv 0\ mod(11)}\)
2.rozwiąż kongruencje:
\(\displaystyle{ x^{2}+7x+11 \equiv 0\ mod(5)}\)

bede wdzieczna za pomoc

[Ciamolek]

W 2. zauważ, że po odliczeniu wielokrotności piątek uzyskasz:
\(\displaystyle{ x^{2}+2x+1 = (x+1)^{2} \equiv 0 (mod5) \Rightarrow x \equiv 4 (mod5)}\)

Pozdrawiam,
Ciamolek

-- 14 maja 2011, 18:21 --

Jeśli chodzi o zadanie pierwsze:
1) Skorzystaj z małego twierdzenia Fermata: podnieś stronami do potęgi 11 i otrzymasz sprzeczność (23 jest liczbą pierwszą).-- 14 maja 2011, 18:34 --Do drugiego przykładu w pierwszy zadaniu:
nie przychodzi mi na myśl łatwa metoda... Ale wystarczy sprawdzić tylko \(\displaystyle{ x \in {0,1...,10}}\), żeby uzyskać odpowiedź - nie jest to znowu aż tak dużo roboty. Odpowiedź będzie negatywna.

[Vax]

2 przykład z 1 można trochę szybciej:

\(\displaystyle{ 2x^2+7x-10 \equiv 0\pmod{11}/:2}\)

\(\displaystyle{ x^2+20x-5 \equiv 0\pmod{11}}\)

\(\displaystyle{ (x+10)^2 \equiv 6\pmod{11}}\)

Ale 6 jest nieresztą kwadratową \(\displaystyle{ \pmod{11}}\) skąd wynika, że dana kongruencja nie ma rozwiązań.

Pozdrawiam.