Małe twierdzenie fermata; kongruencje.

[Ciamolek]

Witam,

należy rozwiązać następujące zadanie:

Wykaż, że jeżeli \(\displaystyle{ p \neq 5}\) jest nieparzystą liczpą pierwszą, to istnieje nieskończenie wiele takich liczb naturalnych \(\displaystyle{ n}\), dla których \(\displaystyle{ p}\) dzieli \(\displaystyle{ 10^{n}-1}\).

Wskazówka: małe twierdzenie Fermata.

Twierdzenie znam - nie bardzo wiem jak je tu zastosować i do czego:

\(\displaystyle{ (10^{n}-1)^{p-1} \equiv 1 (mod p)}\) Wygląda, że jest to prawda dla \(\displaystyle{ p \neq 3}\), ale do czego to się może przydać?

Próbowałem zapisać moją liczbę jako:
\(\displaystyle{ 9 \cdot (10^{n-1}+10^{n-2}+....+10+1)}\), ale to też za bardzo mi nie pomaga.

Proszę o wskazówki - cenniejsze niż gotowe rozwiązanie.

Pozdrawiam,
Ciamolek

[pyzol]

Z tego twierdzenia mamy:
\(\displaystyle{ 10^p-10\equiv 0 (mod p) \\
10(10^{p-1}-1)\equiv 0 (mod p)}\)
dziesiątka nie jest podzielna więc pozostała musi być.
Teraz musisz znaleźć tylko jeszcze nieskończenie wiele takich, próbuj z potęgami 10.

[Ciamolek]

Moment, czy jeśli wezmę \(\displaystyle{ n=k(p-1)}\) dla \(\displaystyle{ k}\) będącego liczbą naturalną, to będzie działać?

[pyzol]

Tak.