Witam,
należy rozwiązać następujące zadanie:
Wykaż, że jeżeli \(\displaystyle{ p \neq 5}\) jest nieparzystą liczpą pierwszą, to istnieje nieskończenie wiele takich liczb naturalnych \(\displaystyle{ n}\), dla których \(\displaystyle{ p}\) dzieli \(\displaystyle{ 10^{n}-1}\).
Wskazówka: małe twierdzenie Fermata.
Twierdzenie znam - nie bardzo wiem jak je tu zastosować i do czego:
\(\displaystyle{ (10^{n}-1)^{p-1} \equiv 1 (mod p)}\) Wygląda, że jest to prawda dla \(\displaystyle{ p \neq 3}\), ale do czego to się może przydać?
Próbowałem zapisać moją liczbę jako:
\(\displaystyle{ 9 \cdot (10^{n-1}+10^{n-2}+....+10+1)}\), ale to też za bardzo mi nie pomaga.
Proszę o wskazówki - cenniejsze niż gotowe rozwiązanie.
Pozdrawiam,
Ciamolek
Małe twierdzenie fermata; kongruencje.
- pyzol
- Użytkownik
- Posty: 4346
- Rejestracja: 26 kwie 2010, o 11:39
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Nowa Ruda
- Podziękował: 5 razy
- Pomógł: 929 razy
Małe twierdzenie fermata; kongruencje.
Z tego twierdzenia mamy:
\(\displaystyle{ 10^p-10\equiv 0 (mod p) \\
10(10^{p-1}-1)\equiv 0 (mod p)}\)
dziesiątka nie jest podzielna więc pozostała musi być.
Teraz musisz znaleźć tylko jeszcze nieskończenie wiele takich, próbuj z potęgami 10.
\(\displaystyle{ 10^p-10\equiv 0 (mod p) \\
10(10^{p-1}-1)\equiv 0 (mod p)}\)
dziesiątka nie jest podzielna więc pozostała musi być.
Teraz musisz znaleźć tylko jeszcze nieskończenie wiele takich, próbuj z potęgami 10.
-
- Użytkownik
- Posty: 440
- Rejestracja: 4 mar 2008, o 17:32
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Zielona Góra
- Podziękował: 45 razy
- Pomógł: 42 razy
Małe twierdzenie fermata; kongruencje.
Moment, czy jeśli wezmę \(\displaystyle{ n=k(p-1)}\) dla \(\displaystyle{ k}\) będącego liczbą naturalną, to będzie działać?