Nierówność dla 2 zmiennych rzeczywistych

[dani alves]

Mam problem z następującym zadaniem: Wykaż, że dla dowolnych liczb dodatnich a, b prawdziwa jest nierówność: \(\displaystyle{ \frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}}\) Z góry dziękuje.

[Vax]

Mnożymy przez 2:

\(\displaystyle{ a+b \ge 2\sqrt{ab}}\)

Obie strony są nieujemne, więc możemy podnieść do kwadratu:

\(\displaystyle{ a^2+2ab+b^2 \ge 4ab}\)

\(\displaystyle{ a^2-2ab+b^2 \ge 0}\)

\(\displaystyle{ (a-b)^2 \ge 0}\)

Co będzie zawsze spełnione.

Pozdrawiam.

[dani alves]

Wielkie dzięki Vax.-- 12 maja 2011, o 18:36 --Kurcze a to jest kolejny podpunkt tego zadania: \(\displaystyle{ \left( a+b\right)\left( \frac{1}{a}+ \frac{1}{b} \right) \ge 4}\)
I zrobiłem tak:
Pomnożyłem nawiasy: \(\displaystyle{ 1+ \frac{a}{b}+ \frac{b}{a}+1 \ge 4}\)
No i: \(\displaystyle{ \frac{a}{b}+ \frac{b}{a} \ge 2}\)
No i nie wiem czy dobrze, i nie wiem co dalej. Proszę o pomoc.

[Adam656]

Z AM-GM
\(\displaystyle{ \frac{a}{b} + \frac{b}{a} \ge 2 \sqrt{\frac{a}{b} \cdot \frac{b}{a} } =2}\)

Adam

[dani alves]

Nie czaje........

[smigol]

dani alves, skorzystaj z tego co już wcześniej udowodniłeś: \(\displaystyle{ \frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}}\).

[dani alves]

Nie rozumiem i nie wiem jak to zrobić proszę o pomoc.

[Vax]

Udowodniłeś wcześniej, że \(\displaystyle{ \frac{x+y}{2} \ge \sqrt{xy}}\)

Teraz podstawiamy \(\displaystyle{ x = \frac{a}{b}}\) , \(\displaystyle{ y = \frac{b}{a}}\) i mamy:

\(\displaystyle{ \frac{\frac{a}{b}+\frac{b}{a}}{2} \ge \sqrt{\frac{a}{b}\cdot \frac{b}{a}} = \sqrt{1} = 1 /\cdot 2}\)

\(\displaystyle{ \frac{a}{b}+\frac{b}{a} \ge 2}\)

Pozdrawiam.

[dani alves]

Aha, a da się to jakoś inaczej zrobić, bez wykorzystania tego co udowodniłem wcześniej.?????

[Vax]

Oczywiście, rozumiem, że tamta nierówność jest dla niewiadomych tego samego znaku ? (Albo jednocześnie ujemne, albo dodatnie) w przeciwnym wypadku łatwo podać kontrprzykład, np \(\displaystyle{ a=1 \wedge b=-1}\) w przeciwnym razie:

\(\displaystyle{ \frac{a}{b} + \frac{b}{a} \ge 2 /\cdot ab}\)

\(\displaystyle{ a^2+b^2 \ge 2ab}\)

\(\displaystyle{ (a-b)^2 \ge 0}\)

Co będzie zawsze spełnione

Pozdrawiam.

[dani alves]

Kurcze, wielkie dzięki.-- 16 maja 2011, o 16:58 --A jeszcze jednego nie umiem udowodnić:
\(\displaystyle{ \frac{x ^{2} }{1+x ^{4} } \le \frac{1}{2}}\)
Z góry dzięki. Pozdrawiam.

[m-2]

Udowadniasz tę nierówność analogicznie do poprzednich.

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ \frac{x ^{2} }{1+x ^{4} } \le \frac{1}{2}}\)
Mnożymy obie strony przez \(\displaystyle{ 2(1+x^4)}\), bo to wyrażenie będzie zawsze dodatnie.
\(\displaystyle{ 2x ^{2} \le 1+x ^{4}}\)
\(\displaystyle{ 1-2x^2+x^4 \geq 0}\)
\(\displaystyle{ (1-x^2)^2\geq 0}\)
A kwadrat każdej liczby rzeczywistej jest nieujemny.

[dani alves]

DZięki.