Nierówność dla trzech zmiennych rzeczywistych

[dani alves]

Witam!
Mam problem z pewnym zadaniem: Udowodnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a, b, c zachodzi nierówność: \(\displaystyle{ a ^{2}+b ^{2}+c ^{2}+3 \ge 2\left( a+b+c\right)}\)
Proszę o pomoc. Z góry dziękuje.

[Vax]

Równoważnie \(\displaystyle{ (a-1)^2+(b-1)^2+(c-1)^2 \ge 0}\) co jest nieujemne.

Pozdrawiam.

[dani alves]

Równoważnie \(\displaystyle{ (a-1)^2+(b-1)^2+(c-1)^2 \ge 0}\) co jest nieujemne.

Mógłbyś bardziej wytłumaczyć bo niestety nie rozumiem o co chodzi

[aniu_ta]

\(\displaystyle{ a ^{2}+b ^{2}+c ^{2}+3 \ge 2\left( a+b+c\right)}\)

przerzuć wszystko na lewo i masz

\(\displaystyle{ a ^{2}-2a+1+b ^{2}-2b+1+c ^{2}-2c+1 \ge 0}\)

tu wzór skróconego mnożenia i

\(\displaystyle{ (a-1)^2+(b-1)^2+(c-1)^2 \ge 0}\)

więc nierówność Vaxa jest równoważna z Twoją. a kwadrat dowolnej liczby zawsze jest nieujemny, więc suma kwadratów również jest nieujemna.

[dani alves]

Ok, już rozumiem. Wielkie dzięki.