Podzielnosc liczby

[altmen]

Liczby \(\displaystyle{ a, b, c, d}\) są całkowite dodatnie oraz liczba \(\displaystyle{ c \cdot d}\) jest podzielna przez liczbę \(\displaystyle{ a \cdot b}\) . Wynika stąd, że
a) a lub b jest dzielnikiem \(\displaystyle{ c \cdot d}\)
b) a jest dzielnikiem c lub d
c) żadna z liczb a i b nie może być dzielnikiem żadnej z liczb c i d
d) żadna z powyższych odpowiedzi nie jest prawdziwa



Z góry dziękuje za pomoc.

[octahedron]

a)

[altmen]

A dlaczego nie b)?

[Jan Kraszewski]

A dlaczego nie b)?

\(\displaystyle{ a=4, b=1, c=d=2}\)

JK

[altmen]

Proszę o wyjaśnienie, dlaczego właśnie a).

[smigol]

bo można napisać
\(\displaystyle{ cd=kab}\), dla pewnego k całkowitego, więc w rozkładzie na czynniki pierwsze liczby \(\displaystyle{ cd}\)...

[Jan Kraszewski]

Prawdziwe jest nawet więcej niż a), czyli \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) dzieli \(\displaystyle{ c\cdot d}\).

Istotnie, skoro \(\displaystyle{ a|a\cdot b}\) i \(\displaystyle{ a\cdot b|c\cdot d}\), to \(\displaystyle{ a|c\cdot d}\) (z przechodniości podzielności - to proste spostrzeżenie). Dla \(\displaystyle{ b}\) tak samo.

JK