Wyznacz reszty z dzielenia
\(\displaystyle{ 15^{231}}\) przez 14
\(\displaystyle{ 3^{80}+2^{80}}\) przez 11
\(\displaystyle{ 208^{208}}\) przez 23
Nawet nie wiem jak zacząć... Jakby ktoś pokazał na jednym przykładzie jak to robić byłoby fajnie, i jaki jest wogóle na to sposób, bo w drugim jest suma i nie wiem za bardzo co z nią zrobic.
Reszty z dzielenia
-
- Użytkownik
- Posty: 5101
- Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 1001 razy
Reszty z dzielenia
\(\displaystyle{ 15\equiv1\pmod{14}}\)
Zatem
\(\displaystyle{ 15^{231}\equiv1^{231}\pmod{14}}\).
Następne już wiesz jak?
Zatem
\(\displaystyle{ 15^{231}\equiv1^{231}\pmod{14}}\).
Następne już wiesz jak?
-
- Użytkownik
- Posty: 1267
- Rejestracja: 1 kwie 2011, o 11:37
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Malbork
- Podziękował: 419 razy
- Pomógł: 114 razy
Reszty z dzielenia
Ostatnie
\(\displaystyle{ 208 \equiv 1 (mod 23)}\)
Tak powinno byc? Jak tak to chyba dam rade z algorytmu euklidesa
A w drugim nie wiem jak się zabrać niestety
\(\displaystyle{ 208 \equiv 1 (mod 23)}\)
Tak powinno byc? Jak tak to chyba dam rade z algorytmu euklidesa
A w drugim nie wiem jak się zabrać niestety
- Vax
- Użytkownik
- Posty: 2913
- Rejestracja: 27 kwie 2010, o 22:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Biała Podlaska / Warszawa
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 612 razy
Reszty z dzielenia
2) Z twierdzenia Eulera:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 3^{\varphi(11)} \equiv 1 (mod 11) \\ 2^{\varphi(11)} \equiv 1 (mod \ 11)\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 3^{10} \equiv 1 (mod \ 11)\\ 2^{10} \equiv 1 (mod \ 11) \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 3^{80} \equiv 1 (mod 11)\\ 2^{80} \equiv 1 (mod \ 11) \end{cases} \Rightarrow 3^{80}+2^{80} \equiv 2 (mod \ 11)}\)
3 podobnie.
Pozdrawiam.
\(\displaystyle{ \begin{cases} 3^{\varphi(11)} \equiv 1 (mod 11) \\ 2^{\varphi(11)} \equiv 1 (mod \ 11)\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 3^{10} \equiv 1 (mod \ 11)\\ 2^{10} \equiv 1 (mod \ 11) \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 3^{80} \equiv 1 (mod 11)\\ 2^{80} \equiv 1 (mod \ 11) \end{cases} \Rightarrow 3^{80}+2^{80} \equiv 2 (mod \ 11)}\)
3 podobnie.
Pozdrawiam.
- Vax
- Użytkownik
- Posty: 2913
- Rejestracja: 27 kwie 2010, o 22:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Biała Podlaska / Warszawa
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 612 razy
Reszty z dzielenia
Tak, można bez żadnego twierdzenia zauważyć:
\(\displaystyle{ 3^{2} \equiv (-2) (mod \ 11) \Rightarrow 3^{80} \equiv 2^{40} (mod \ 11) \Leftrightarrow 3^{80} +2^{80} \equiv 2^{40}+2^{80} (mod \ 11)}\)
Teraz zauważ, że \(\displaystyle{ 2^5 \equiv (-1) (mod \ 11) \Rightarrow 2^{40} \equiv 1 (mod \ 11) \wedge 2^{80} \equiv 1 (mod \ 11) \Rightarrow 2^{40}+2^{80} \equiv 2 (mod \ 11)}\)
Pozdrawiam.
\(\displaystyle{ 3^{2} \equiv (-2) (mod \ 11) \Rightarrow 3^{80} \equiv 2^{40} (mod \ 11) \Leftrightarrow 3^{80} +2^{80} \equiv 2^{40}+2^{80} (mod \ 11)}\)
Teraz zauważ, że \(\displaystyle{ 2^5 \equiv (-1) (mod \ 11) \Rightarrow 2^{40} \equiv 1 (mod \ 11) \wedge 2^{80} \equiv 1 (mod \ 11) \Rightarrow 2^{40}+2^{80} \equiv 2 (mod \ 11)}\)
Pozdrawiam.
-
- Użytkownik
- Posty: 1267
- Rejestracja: 1 kwie 2011, o 11:37
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Malbork
- Podziękował: 419 razy
- Pomógł: 114 razy
Reszty z dzielenia
No już coś mi sie rozjaśniło. Przez swięta nad tym porządnie usiąðę i postaram się zrozumieć, ale dzięki za pomoc, bo coś zaczynam ogarniać.