Dla jakich liczb naturalnych n

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
macieq44
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 91
Rejestracja: 22 paź 2009, o 21:23
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gorzów Wlkp.
Podziękował: 15 razy
Pomógł: 1 raz

Dla jakich liczb naturalnych n

Post autor: macieq44 »

Dla jakich liczb naturalnych \(\displaystyle{ n}\), liczba \(\displaystyle{ n^2+12n+17}\) jest kwadratem liczby naturalnej?
Wydaje mi się że tak należy to zrobić:
\(\displaystyle{ k,n \in N\\ k^2=n^2+12n+17\\ (n+6)^2=n^2+12n+36\\ k^2=(n+6)^2-19=(n+6- \sqrt{19})(n+6+ \sqrt{19})\\}\)
no i teraz:
żeby wyrażenie to było kwadratem liczby naturalnej, to wyrażenia w nawiasach muszą być sobie równe, a jak widzimy nigdy nie będą sobie równe, więc nie ma takie \(\displaystyle{ n}\), dla którego \(\displaystyle{ n^2+12n+17}\) jest kwadratem liczby naturalnej.

albo:
\(\displaystyle{ (n+6)^2=m\\
-19=l\\
m+l=k^2\\
kolejne\ kwadraty\ liczb\ naturalnych:\\
1\ 4\ 9\ 16\ 25\ 36\ 49\ 64\ 81\ 100\ 121\ 144\ 169\\
m+l=1\\
m+l=9\\
...\\
m=1-l=1+19=20\\
m=23=(n+6)^2\\
m=28=(n+6)^2\\
m=35=(n+6)^2\\
m=44=(n+6)^2\\
m=55=(n+6)^2\\
m=68=(n+6)^2\\
m=83=(n+6)^2\\
...\\
n=\sqrt{23}-6\\
n=2\sqrt{7}-6\\
n=\sqrt{35}-6\\
n=2\sqrt{11}-6\\}\)

a tutaj widzimy, że znów nie będzie takie \(\displaystyle{ n}\)

zgadza się czy nie?
Awatar użytkownika
Vax
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2913
Rejestracja: 27 kwie 2010, o 22:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Biała Podlaska / Warszawa
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 612 razy

Dla jakich liczb naturalnych n

Post autor: Vax »

\(\displaystyle{ n^2+12n+17=k^2}\)

\(\displaystyle{ (n+6)^2-19=k^2}\)

\(\displaystyle{ (n+6)^2-k^2 = 19}\)

\(\displaystyle{ (n+k+6)(n-k+6)=19}\)

Skoro n jest naturalne, to jedyną możliwością jest:

\(\displaystyle{ \begin{cases} n+k+6=19\\ n-k+6=1 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} n=4\\ k=9 \end{cases}}\)

Dane wyrażenie jest kwadratem liczby naturalnej dla \(\displaystyle{ n=4}\)

Pozdrawiam.
macieq44
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 91
Rejestracja: 22 paź 2009, o 21:23
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gorzów Wlkp.
Podziękował: 15 razy
Pomógł: 1 raz

Dla jakich liczb naturalnych n

Post autor: macieq44 »

ehh... aż mi się smutno zrobiło, że na takie proste coś nie wpadłem ;(
no ale nic. dziękuję
ODPOWIEDZ