Rozwiązać równanie diofantyczne:
\(\displaystyle{ 4x+8y+6z=6}\)
Proszę o wytłumaczenie jak się robi takie zadania, pozdrawiam.
równanie diofantyczne
-
Marcinek665
- Użytkownik
- Posty: 1824
- Rejestracja: 11 sty 2007, o 20:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice, Warszawa
- Podziękował: 73 razy
- Pomógł: 228 razy
równanie diofantyczne
Niech \(\displaystyle{ x,y,z \in \mathbb{Z}}\) spełniają nasze równanie. Możemy oczywiście podzielić stronami przez \(\displaystyle{ 2}\). Mamy:
\(\displaystyle{ 2x+4y+3z=3}\)
Wyznaczmy stąd \(\displaystyle{ x}\):
\(\displaystyle{ x= \frac{3-4y-3z}{2} = 1 - z - 2y + \frac{1-z}{2}}\)
\(\displaystyle{ z}\) i \(\displaystyle{ y}\) są całkowite, więc także \(\displaystyle{ \frac{1-z}{2}}\) musi być całkowite, oznaczmy je jako jakieś \(\displaystyle{ n}\).
\(\displaystyle{ \frac{1-z}{2} = n \Rightarrow z=1-2n}\)
Liczba \(\displaystyle{ z}\) spełniająca równanie musi mieć zatem postać \(\displaystyle{ 1-2n}\), gdzie \(\displaystyle{ n}\) jest dowolną liczbą całkowitą. Z kolei \(\displaystyle{ y}\) jest dowolną liczbą całkowitą, gdyż nie występuje u nas jako ułamek, dlatego \(\displaystyle{ y=t}\), gdzie \(\displaystyle{ t}\) jest także dowolną liczbą całkowitą.
Mając \(\displaystyle{ y}\) i \(\displaystyle{ z}\) możemy bez trudu obliczyć \(\displaystyle{ x}\), gdyż mamy na niego wzór:
\(\displaystyle{ x= \frac{3-4y-3z}{2} = 1 - z - 2y + \frac{1-z}{2} = 3n-2t}\).
Wobec tego wszystkie rozwiązania całkowite tego równania dane są wzorem:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=3n-2t \\ y=t, \ t \in \mathbb{Z} \\ z = 1-2n, n \in \mathbb{Z} \end{cases}}\)
Ale powtórzeń nawaliłem. 6 razy użyte słowo "całkowite", olaboga!
\(\displaystyle{ 2x+4y+3z=3}\)
Wyznaczmy stąd \(\displaystyle{ x}\):
\(\displaystyle{ x= \frac{3-4y-3z}{2} = 1 - z - 2y + \frac{1-z}{2}}\)
\(\displaystyle{ z}\) i \(\displaystyle{ y}\) są całkowite, więc także \(\displaystyle{ \frac{1-z}{2}}\) musi być całkowite, oznaczmy je jako jakieś \(\displaystyle{ n}\).
\(\displaystyle{ \frac{1-z}{2} = n \Rightarrow z=1-2n}\)
Liczba \(\displaystyle{ z}\) spełniająca równanie musi mieć zatem postać \(\displaystyle{ 1-2n}\), gdzie \(\displaystyle{ n}\) jest dowolną liczbą całkowitą. Z kolei \(\displaystyle{ y}\) jest dowolną liczbą całkowitą, gdyż nie występuje u nas jako ułamek, dlatego \(\displaystyle{ y=t}\), gdzie \(\displaystyle{ t}\) jest także dowolną liczbą całkowitą.
Mając \(\displaystyle{ y}\) i \(\displaystyle{ z}\) możemy bez trudu obliczyć \(\displaystyle{ x}\), gdyż mamy na niego wzór:
\(\displaystyle{ x= \frac{3-4y-3z}{2} = 1 - z - 2y + \frac{1-z}{2} = 3n-2t}\).
Wobec tego wszystkie rozwiązania całkowite tego równania dane są wzorem:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=3n-2t \\ y=t, \ t \in \mathbb{Z} \\ z = 1-2n, n \in \mathbb{Z} \end{cases}}\)
Ale powtórzeń nawaliłem. 6 razy użyte słowo "całkowite", olaboga!