Podwójna suma

[sejman]

Czy ktoś może objaśnic mi zapis:
\(\displaystyle{ S(k)= \sum\sum_{ \frac{\left( m,n\right)=1}{m \le k<n \le k+n} }^{} \frac{1}{mn}}\)
Z tym że to wyrażenie pod druga sumą nie jest w ułamku tylko w 2 wierszach, ale nie wiedziałem jak to w Latexie ogarnąć. To jest zadanie z konkursu, mówie bez ogródek, nie chce żeby ktoś rozwiązywał, aczkolwiek fajnie by było, chciałbym wiedziec jak odzczytać te symbol. Powiedzmy żaby ktoś napisał mniej więcej tak:
Suma od \(\displaystyle{ i}\)do \(\displaystyle{ k}\)........ itd.

[marcinz]

Jesteś pewien, że dobrze to przepisałeś? Zgaduję,że \(\displaystyle{ k}\) jest liczbą naturalną, wtedy ostatni warunek \(\displaystyle{ n \le k+n}\) jest zawsze spełniony. Ale pomińmy to, dla wytłumaczenia zapisu załóżmy, że druga linijka to \(\displaystyle{ 1 \le m<n \le k}\). Wtedy chodzi o to, żeby wziąć wszystkie pary liczb naturalnych \(\displaystyle{ m,n}\), które są względnie pierwsze, do tego są mniejsze od \(\displaystyle{ k+1}\) i spełniają warunek \(\displaystyle{ m<n}\). A więc, żeby policzyć \(\displaystyle{ \sum_{ ( m,n)=1, 1 \le m<n \le k}^{} \frac{1}{mn}}\) wyznaczamy najpierw zakres sumowania. Powiedzmy, że \(\displaystyle{ k=4}\), wtedy mamy pary \(\displaystyle{ (1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(3,4)}\), dla nich liczymy wartość wyrażenia \(\displaystyle{ \frac{1}{mn}}\) i dostajemy \(\displaystyle{ \frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\frac{1}{6},\frac{1}{12}}\) i teraz wystarczy to dodać.

[sejman]

Mówimy, że dwie liczby naturalne m, n są względnie pierwsze jeśli ich największy wspólny dzielnik
wynosi 1, co zapisujemy w postaci (m, n) = 1.
Przypisałem prawie dobrze, jedny bląd to pod sumą warunek ( czy jak to sie tam nazywa) wygląda tak :
\(\displaystyle{ m \le k<n \le k+m}\)
I \(\displaystyle{ k}\) jest liczbą naturalną