liczba niewymiera

magdastanik · Post autor: **magdastanik** » 9 kwie 2011, o 16:34

pokazać ze \(\displaystyle{ \sin 1}\) jest liczbą niewymierną

Lorek · Post autor: **Lorek** » 9 kwie 2011, o 20:16

To 1 to jest 1 stopień czy 1 radian?

norwimaj · Post autor: **norwimaj** » 9 kwie 2011, o 21:35

Znajdź dowód, że liczba \(\displaystyle{ e}\) jest niewymierna i zrób tak samo.

Jeśli zaś jedynka miałaby oznaczać jeden stopień, jak sugeruje Lorek, to można to zrobić z twierdzenia o pierwiastkach wymiernych wielomianu, ale nie jest to natychmiastowe, bo najpierw trzeba znaleźć wielomian, którego \(\displaystyle{ \sin1^\circ}\) jest pierwiastkiem.

magdastanik · Post autor: **magdastanik** » 10 kwie 2011, o 17:40

tak jest to jeden stopień. a konkretnie to jakby to wyglądało?

norwimaj · Post autor: **norwimaj** » 10 kwie 2011, o 23:57

Może z tymi wymiernymi pierwiastkami to zmyliłem trochę. Teraz pomyślałem i jednak nie o to chodzi.

Można łatwo wykazać, że istnieje wielomian \(\displaystyle{ w}\) o współczynnikach całkowitych, taki że \(\displaystyle{ w(\sin1^\circ)=\sin45^\circ}\). Jeden ze sposobów wykazania tego, to wzór de Moivre'a. Oczywiście tych rachunków nie trzeba wykonywać, tylko wystarczy zauważyć, że się da.

No to teraz rozwiązanie zadania. Załóżmy, że \(\displaystyle{ \sin1^\circ}\) jest niewymierny. Wtedy \(\displaystyle{ \sin45^\circ=w(\sin1^\circ)}\) również jest niewymierny. Sprzeczność.

Zordon · Post autor: **Zordon** » 11 kwie 2011, o 00:07

norwimaj pisze: No to teraz rozwiązanie zadania. Załóżmy, że \(\displaystyle{ \sin1^\circ}\) jest niewymierny. Wtedy \(\displaystyle{ \sin45^\circ=w(\sin1^\circ)}\) również jest niewymierny. Sprzeczność.

Gdzie ta sprzeczność.
\(\displaystyle{ (\sqrt{2})^2=2\in \mathbb{Q}}\)

Post autor: **Jan Kraszewski** » 11 kwie 2011, o 00:12

Poza tym \(\displaystyle{ \sin 45^\circ}\) jest niewymierny...

JK

Zordon · Post autor: **Zordon** » 11 kwie 2011, o 08:52

Jan Kraszewski pisze:Poza tym \(\displaystyle{ \sin 45^\circ}\) jest niewymierny...

JK

Ah, no to też Czyli widać pewne luki w rozumowaniu.

xiikzodz · Post autor: **xiikzodz** » 11 kwie 2011, o 09:47

Rozwiązanie jest OK, tylko niefortunnie zredagowane.

Istnieje wielomian w o współczynnikach całkowitych taki, że \(\displaystyle{ w(\sin 1^\circ)=\sin 45^\circ}\). Gdyby więc liczba \(\displaystyle{ \sin 1^\circ}\) była wymierna, to również liczba \(\displaystyle{ \sin 45^\circ}\) byłaby wymierna, a nie jest.

norwimaj · Post autor: **norwimaj** » 11 kwie 2011, o 13:56

No racja. Widać że spałem pisząc to.-- 11 kwi 2011, o 14:00 --Powinno być o tak:

Załóżmy, że \(\displaystyle{ \sin1^\circ}\) jest wymierny. Wtedy \(\displaystyle{ \sin45^\circ=w(\sin1^\circ)}\) również jest wymierny. Sprzeczność.