liczba niewymiera
-
- Użytkownik
- Posty: 7
- Rejestracja: 9 kwie 2011, o 12:14
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: lublin
liczba niewymiera
pokazać ze \(\displaystyle{ \sin 1}\) jest liczbą niewymierną
Ostatnio zmieniony 12 kwie 2011, o 10:02 przez Qń, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Nieczytelny zapis - brak LaTeX-a. Proszę zapoznać się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .
Powód: Nieczytelny zapis - brak LaTeX-a. Proszę zapoznać się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .
-
- Użytkownik
- Posty: 5101
- Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 1001 razy
liczba niewymiera
Znajdź dowód, że liczba \(\displaystyle{ e}\) jest niewymierna i zrób tak samo.
Jeśli zaś jedynka miałaby oznaczać jeden stopień, jak sugeruje Lorek, to można to zrobić z twierdzenia o pierwiastkach wymiernych wielomianu, ale nie jest to natychmiastowe, bo najpierw trzeba znaleźć wielomian, którego \(\displaystyle{ \sin1^\circ}\) jest pierwiastkiem.
Jeśli zaś jedynka miałaby oznaczać jeden stopień, jak sugeruje Lorek, to można to zrobić z twierdzenia o pierwiastkach wymiernych wielomianu, ale nie jest to natychmiastowe, bo najpierw trzeba znaleźć wielomian, którego \(\displaystyle{ \sin1^\circ}\) jest pierwiastkiem.
-
- Użytkownik
- Posty: 7
- Rejestracja: 9 kwie 2011, o 12:14
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: lublin
-
- Użytkownik
- Posty: 5101
- Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 1001 razy
liczba niewymiera
Może z tymi wymiernymi pierwiastkami to zmyliłem trochę. Teraz pomyślałem i jednak nie o to chodzi.
Można łatwo wykazać, że istnieje wielomian \(\displaystyle{ w}\) o współczynnikach całkowitych, taki że \(\displaystyle{ w(\sin1^\circ)=\sin45^\circ}\). Jeden ze sposobów wykazania tego, to wzór de Moivre'a. Oczywiście tych rachunków nie trzeba wykonywać, tylko wystarczy zauważyć, że się da.
No to teraz rozwiązanie zadania. Załóżmy, że \(\displaystyle{ \sin1^\circ}\) jest niewymierny. Wtedy \(\displaystyle{ \sin45^\circ=w(\sin1^\circ)}\) również jest niewymierny. Sprzeczność.
Można łatwo wykazać, że istnieje wielomian \(\displaystyle{ w}\) o współczynnikach całkowitych, taki że \(\displaystyle{ w(\sin1^\circ)=\sin45^\circ}\). Jeden ze sposobów wykazania tego, to wzór de Moivre'a. Oczywiście tych rachunków nie trzeba wykonywać, tylko wystarczy zauważyć, że się da.
No to teraz rozwiązanie zadania. Załóżmy, że \(\displaystyle{ \sin1^\circ}\) jest niewymierny. Wtedy \(\displaystyle{ \sin45^\circ=w(\sin1^\circ)}\) również jest niewymierny. Sprzeczność.
- Zordon
- Użytkownik
- Posty: 4977
- Rejestracja: 12 lut 2008, o 21:42
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 75 razy
- Pomógł: 910 razy
liczba niewymiera
Gdzie ta sprzeczność.norwimaj pisze: No to teraz rozwiązanie zadania. Załóżmy, że \(\displaystyle{ \sin1^\circ}\) jest niewymierny. Wtedy \(\displaystyle{ \sin45^\circ=w(\sin1^\circ)}\) również jest niewymierny. Sprzeczność.
\(\displaystyle{ (\sqrt{2})^2=2\in \mathbb{Q}}\)
-
- Administrator
- Posty: 34277
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
- Zordon
- Użytkownik
- Posty: 4977
- Rejestracja: 12 lut 2008, o 21:42
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 75 razy
- Pomógł: 910 razy
liczba niewymiera
Ah, no to też Czyli widać pewne luki w rozumowaniu.Jan Kraszewski pisze:Poza tym \(\displaystyle{ \sin 45^\circ}\) jest niewymierny...
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 1874
- Rejestracja: 4 paź 2008, o 02:13
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Lost Hope
- Podziękował: 28 razy
- Pomógł: 502 razy
liczba niewymiera
Rozwiązanie jest OK, tylko niefortunnie zredagowane.
Istnieje wielomian w o współczynnikach całkowitych taki, że \(\displaystyle{ w(\sin 1^\circ)=\sin 45^\circ}\). Gdyby więc liczba \(\displaystyle{ \sin 1^\circ}\) była wymierna, to również liczba \(\displaystyle{ \sin 45^\circ}\) byłaby wymierna, a nie jest.
Istnieje wielomian w o współczynnikach całkowitych taki, że \(\displaystyle{ w(\sin 1^\circ)=\sin 45^\circ}\). Gdyby więc liczba \(\displaystyle{ \sin 1^\circ}\) była wymierna, to również liczba \(\displaystyle{ \sin 45^\circ}\) byłaby wymierna, a nie jest.
-
- Użytkownik
- Posty: 5101
- Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 1001 razy
liczba niewymiera
No racja. Widać że spałem pisząc to.-- 11 kwi 2011, o 14:00 --Powinno być o tak:
Załóżmy, że \(\displaystyle{ \sin1^\circ}\) jest wymierny. Wtedy \(\displaystyle{ \sin45^\circ=w(\sin1^\circ)}\) również jest wymierny. Sprzeczność.
Załóżmy, że \(\displaystyle{ \sin1^\circ}\) jest wymierny. Wtedy \(\displaystyle{ \sin45^\circ=w(\sin1^\circ)}\) również jest wymierny. Sprzeczność.