Wyznacz wszystkie liczby pierwsze p

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
Bialypl
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14
Rejestracja: 8 cze 2008, o 15:53
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Radom
Podziękował: 3 razy

Wyznacz wszystkie liczby pierwsze p

Post autor: Bialypl »

Wyznacz wszystkie liczby pierwsze p i naturalne x,y , dla których \(\displaystyle{ p^{x}- y^{3}=1}\)

Proszę o jakąś podpowiedź lub rozwiązanie.
Crizz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4094
Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 805 razy

Wyznacz wszystkie liczby pierwsze p

Post autor: Crizz »

Ja bym zaczął od przerzucenia \(\displaystyle{ y^3}\) na prawą stronę i wzoru skróconego mnożenia, potem można pokombinować z przedstawianiem prawej strony jako iloczynu potęg \(\displaystyle{ p}\).
Bialypl
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14
Rejestracja: 8 cze 2008, o 15:53
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Radom
Podziękował: 3 razy

Wyznacz wszystkie liczby pierwsze p

Post autor: Bialypl »

Próbowałem już zrobić coś w ten deseń ale nadal brak pomysłu.
Nie wiem jak uzależnić np. (y+1) od p.
Marcinek665
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1824
Rejestracja: 11 sty 2007, o 20:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice, Warszawa
Podziękował: 73 razy
Pomógł: 228 razy

Wyznacz wszystkie liczby pierwsze p

Post autor: Marcinek665 »

Skoro \(\displaystyle{ p}\) jest liczbą pierwszą, to każdy z nawiasów które otrzymasz muszą być pewną potęgą tej liczby.

\(\displaystyle{ p^x = y^3 + 1 = (y+1)(y^2 - y + 1)}\)

Dla \(\displaystyle{ y=1}\) masz \(\displaystyle{ x=1}\) i \(\displaystyle{ p=2}\).

Dla \(\displaystyle{ y>1}\) w myśl tego, co napisałem na początku załóż sobie, że:

\(\displaystyle{ \begin{cases} y+1=p^a \\ y^2 - y + 1=p^b \\ a+b=x \end{cases}}\)

I teraz się możesz z tym bawić.
Ahhaa
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 68
Rejestracja: 14 paź 2010, o 22:39
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: kraj walecznych obrońców krzyża
Pomógł: 3 razy

Wyznacz wszystkie liczby pierwsze p

Post autor: Ahhaa »

Jeżeli zależy Ci na samym rozwiązaniu to możesz powołać się na coś ogólniejszego:
... 4%83ilescu
Bialypl
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14
Rejestracja: 8 cze 2008, o 15:53
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Radom
Podziękował: 3 razy

Wyznacz wszystkie liczby pierwsze p

Post autor: Bialypl »

Ogólnie rzecz biorąc to te liczby z twierdzenia znalazłem, aczkolwiek zastanawiałem się czy to jest jedyne możliwe rozwiązanie. Istnieje jakiś prosty sposób (Nie chodzi mi o dowód samego twierdzenia Mihăilescu ) który pokazuje że to jest jedyne rozwiązanie?
norwimaj
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5101
Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 1001 razy

Wyznacz wszystkie liczby pierwsze p

Post autor: norwimaj »

Załóżmy, że \(\displaystyle{ p|y+1}\) oraz \(\displaystyle{ p|y^2-y+1}\). Wtedy \(\displaystyle{ p|(y^2-y+1)-y(y+1)}\), czyli \(\displaystyle{ p|-2y+1}\). Otrzymujemy więc \(\displaystyle{ p|2(y+1)+(-2y+1)}\), czyli \(\displaystyle{ p|1}\). Sprzeczność.

Zatem jeden z czynników musi być równy \(\displaystyle{ 1}\). Stąd \(\displaystyle{ y=0}\) lub \(\displaystyle{ y=1}\). Dla \(\displaystyle{ y=0}\) dostajemy \(\displaystyle{ x=0}\) (nie wiem czy \(\displaystyle{ 0}\) w tym zadaniu uznajemy za naturalne). Jeśli \(\displaystyle{ y=1}\), to \(\displaystyle{ x=1, p=2}\).

-- 8 kwi 2011, o 23:09 --

Dziękuję Sylwkowi za zwrócenie uwagi na błąd.

Zamiast \(\displaystyle{ p|1}\), powinno być \(\displaystyle{ p|3}\). Zatem zostaje do rozpatrzenia jeszcze przypadek, gdy \(\displaystyle{ p=3}\).

-- 8 kwi 2011, o 23:15 --

I nawet będzie więcej rozwiązań, bo mamy \(\displaystyle{ p=3,x=2,y=2}\).-- 8 kwi 2011, o 23:25 --No dobra, to już są wszystkie rozwiązania. Przypadek, który nam został, to taki, gdy \(\displaystyle{ 3|y+1}\) oraz \(\displaystyle{ 3|y^2-y+1}\). Z pierwszego z tych warunków mamy \(\displaystyle{ y=3k+2}\). Wtedy

\(\displaystyle{ (y+1)(y^2-y+1)=(3k+3)(9k^2+12k+4-3k-2+1)=9(k+1)(3k^2+3k+1)}\).

Czynniki mają mieć w rozkładzie na czynniki tylko trójki, zgodnie z tym co zostało wcześniej napisane. Czynnik \(\displaystyle{ 3k^2+3k+1}\) nie dzieli się przez \(\displaystyle{ 3}\), więc jest równy \(\displaystyle{ 1}\). Liczba \(\displaystyle{ k}\) jest całkowita nieujemna, więc jedyny możliwy przypadek to \(\displaystyle{ k=0}\).
Bialypl
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14
Rejestracja: 8 cze 2008, o 15:53
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Radom
Podziękował: 3 razy

Wyznacz wszystkie liczby pierwsze p

Post autor: Bialypl »

No to teraz trochę pytań
norwimaj pisze:
Stąd \(\displaystyle{ y=0}\) lub \(\displaystyle{ y=1}\). Dla \(\displaystyle{ y=0}\) dostajemy \(\displaystyle{ x=0}\) (nie wiem czy \(\displaystyle{ 0}\) w tym zadaniu uznajemy za naturalne). Jeśli \(\displaystyle{ y=1}\), to \(\displaystyle{ x=1, p=2}\).
Jeśli mamy \(\displaystyle{ p ^{x} - 0^{3} = 1}\) i \(\displaystyle{ p=1}\) To nie spełniają tego wszystkie naturalne liczby \(\displaystyle{ x}\) ?

No i 2. Skąd się wzięło (poprawne) rozwiązanie \(\displaystyle{ y=1, x=1, p=2}\) . Jeśli udowodniłeś, że \(\displaystyle{ p|3}\)
(Interesuje mnie oczywiście pochodzenie \(\displaystyle{ p=2}\))

I ogólnie dzięki za pomoc
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34125
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Wyznacz wszystkie liczby pierwsze p

Post autor: Jan Kraszewski »

Bialypl pisze:Jeśli mamy \(\displaystyle{ p ^{x} - 0^{3} = 1}\) i \(\displaystyle{ p=1}\) To nie spełniają tego wszystkie naturalne liczby \(\displaystyle{ x}\) ?
\(\displaystyle{ 1}\) nie jest liczbą pierwszą.

JK
Bialypl
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14
Rejestracja: 8 cze 2008, o 15:53
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Radom
Podziękował: 3 razy

Wyznacz wszystkie liczby pierwsze p

Post autor: Bialypl »

Faktycznie mój błąd. Już widzę o co chodziło z tym \(\displaystyle{ y=0}\) i \(\displaystyle{ x=0}\), ale nadal nie wiem co z \(\displaystyle{ p=2}\).
norwimaj
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5101
Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 1001 razy

Wyznacz wszystkie liczby pierwsze p

Post autor: norwimaj »

Bialypl pisze:No to teraz trochę pytań
No i 2. Skąd się wzięło (poprawne) rozwiązanie \(\displaystyle{ y=1, x=1, p=2}\) . Jeśli udowodniłeś, że \(\displaystyle{ p|3}\)
Nie udowodniłem, że \(\displaystyle{ p|3}\), tylko że jeśli żaden z czynników nie jest jedynką, to \(\displaystyle{ p|3}\).
Zatem są trzy przypadki:
  • \(\displaystyle{ p=3}\). Wtedy \(\displaystyle{ p=3,x=2,y=2}\).
  • \(\displaystyle{ y+1=1}\). Wtedy \(\displaystyle{ y=0}\).
  • \(\displaystyle{ y^2-y+1=1}\). Wtedy \(\displaystyle{ y=0\vee y=1}\).
Bialypl
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14
Rejestracja: 8 cze 2008, o 15:53
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Radom
Podziękował: 3 razy

Wyznacz wszystkie liczby pierwsze p

Post autor: Bialypl »

I wszystko jasne, dzięki
ODPOWIEDZ