ostatni cyfra dużej liczby

[arekklimkiewicz]

Znajdź ostatnią cyfrę liczby \(\displaystyle{ 7^{100}}\)
Prosiłbym o ocenę mojego rozwiązania:

Szukamy \(\displaystyle{ 7^{100} mod 10}\)

\(\displaystyle{ 7^{2} \equiv _{10} 9}\)

\(\displaystyle{ 7^{100} \equiv _{10} 9^{50}}\)

czyli

\(\displaystyle{ 7^{100} mod 10 = 9^{50} mod 10}\)

\(\displaystyle{ 81 \equiv _{10} 1}\)

\(\displaystyle{ 81^{25} \equiv _{10} 1^{25} = 1}\)

Czyli 1 jest ostatnią cyfrą liczby \(\displaystyle{ 7^{100}.}\)

Jak sprawdzić czy ta liczba jest podzielna przez 3 ?

[szw1710]

Z cyfrą bardzo dobrze. Z podzielnością przez 3 metoda identyczna - wyznacz po prostu resztę z dzielenia tej liczby przez 3. Identyczny aparat potęgowania. Zauważ, że ostatnia cyfra liczby to reszta z jej dzielenia przez 10 Wyznaczyłeś więc resztę.

[arekklimkiewicz]

No. ok czyli wyszło że \(\displaystyle{ 3|7^{100}}\)

A jak pokazać że \(\displaystyle{ 3}\) jest generatorem \(\displaystyle{ Z*_{17}}\) ???

[szw1710]

Licz kolejne potęgi 3

[arekklimkiewicz]

To jedyny sposób?

[szw1710]

Przecież to proste - masz działanie mnożenia modulo 17 więc chyba to nie będzie wielki problem. Liczysz kolejne potęgi i powinieneś dostać całą grupę elementów odwracalnych w \(\displaystyle{ \mathbb{Z}_{17}}\) (tak, grupę, bo \(\displaystyle{ \mathbb{Z}_{17}}\) jest to oczywiście ciałem - 17 to liczba pierwsza).

[Xitami]

\(\displaystyle{ 7^{100}\equiv1\mod3}\)

[arekklimkiewicz]

a jak Ci to wyszło ?

Edit:

A no faktycznie masz rację ! Czyli \(\displaystyle{ 7^{100}}\) nie dzieli się przez 3.