Nierówność

[Lifetec]

Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a, b, c zachodzi nierówność:
\(\displaystyle{ a^{2}+b^{2}+c^{2} \geq ab+ac+bc}\)

Kod: Zaznacz cały

[tex] formuła [/tex] :]

[luka52]

\(\displaystyle{ \frac{1}{2}(a-b)^2 \geq 0\\
\frac{1}{2}a^2 -ab + \frac{1}{2}b^2 \geq 0\\
\frac{1}{2}a^2 + \frac{1}{2}b^2 \geq ab}\)
Analogicznie:
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}a^2 + \frac{1}{2}c^2 \geq ac\\
\frac{1}{2}b^2 + \frac{1}{2}c^2 \geq bc}\)
Dodać te nierówności i gotowe.

[Marzec91]

Albo inaczej

\(\displaystyle{ (a-b)^{2}\geqslant0}\)

Analogicznie dla par \(\displaystyle{ b,c}\) i \(\displaystyle{ a,c}\).

\(\displaystyle{ (a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}\geqslant0}\)
\(\displaystyle{ 2a^{2}+2b^{2}+2c^{2}\geqslant2ab+2bc+2ac=2(ab+bc+ac)}\)

Dzieląć obustronnie przez 2 dostajemy tezę zadania.

[Piotr Rutkowski]

Ehem, Marzec, to wcale nie jest inaczej Inaczej możnaby to zrobić np. z ciągów jednomonotonicznych:
Niech \(\displaystyle{ a \geq b \geq c}\)
\(\displaystyle{ a*a+b*b+c*c \geq a*b+b*c+c*a}\), na mocy ciągów jednomonotonicznych

EDIT: Oczywiście bez problemu można poruszany problem zawężyć do liczb \(\displaystyle{ R_{+}}\)

[Marzec91]

W sumie tak, ale jakoś rażą mnie ułamki w nierównościach...