Liczba dzieli się przez

[bliznieta07129]

Liczba \(\displaystyle{ 41!+42!+43!}\) dzieli się przez:
a) \(\displaystyle{ 42 ^{2}}\)
b) \(\displaystyle{ 43 ^{2}}\)
c) \(\displaystyle{ 43 ^{3}}\)

[ostryo]

\(\displaystyle{ 41!+42!+43! = 41! + 41! \cdot 42 + 41! \cdot 42 \cdot 43}\)

[Errichto]

\(\displaystyle{ 41! \cdot (1+42+42 \cdot 43)=41! \cdot (43+42 \cdot 43)=42! \cdot 43^2}\)
a) Tak. Rozłóż tę liczbę na czynniki pierwsze i znajdź w liczbie \(\displaystyle{ 41!}\)
b) Tak, patrz pierwsza linijka.
c) Nie. \(\displaystyle{ 43}\) jest pierwsza więc nie może być dzielnikiem \(\displaystyle{ 41!}\), więc całą liczbę dzieli tylko \(\displaystyle{ 43^2}\).